Question

已知曲線C₁的參數(shù)方程為

x=t2+ 1 t2 -2 y=t- 1 t

（t為參數(shù)），以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸，單位長度示變，建立極坐標(biāo)系，直線L的極坐標(biāo)方程為ρsin（θ+

π

4

）=

2

．
（Ⅰ）試求出曲線C₁和直線L的普通方程；
（Ⅱ）求出它們的公共點(diǎn)的極坐標(biāo)．

Answer 1

考點(diǎn)：簡單曲線的極坐標(biāo)方程,參數(shù)方程化成普通方程

專題：坐標(biāo)系和參數(shù)方程

分析：（Ⅰ）把曲線C₁的參數(shù)方程消去參數(shù)，化為普通方程，把極坐標(biāo)方程根據(jù)x=ρcosθ、y=ρsinθ，化為直角坐標(biāo)方程．
（Ⅱ）把直線、曲線的直角坐標(biāo)方程聯(lián)立方程組，求得交點(diǎn)的直角坐標(biāo)，再化為極坐標(biāo)．

解答： 解：（Ⅰ）把曲線C₁的參數(shù)方程為

x=t2+ 1 t2 -2 y=t- 1 t

（t為參數(shù)），消去參數(shù)，
化為普通方程為y2=(t-

1

t

)2=t2+

1

t2

-2=x，即C₁的普通方程為y²=x．
由ρsin(θ+

π

4

)=

2

可得，

2

2

ρsinθ+

2

2

ρcosθ=

2

，即x+y=2．
（Ⅱ）由

y2=x x+y=2

 求得

x=1 y=1

，或

x=4 y=-2

，可得公共點(diǎn)為（1，1）、（4，-2），
所以，公共點(diǎn)的極坐標(biāo)為(

2

，

π

4

)、(2

5

，2π-arctan

1

2

)．

點(diǎn)評：題主要考查把參數(shù)方程、極坐標(biāo)化為直角坐標(biāo)方程的方法，求兩條曲線的交點(diǎn)坐標(biāo)，屬于基礎(chǔ)題．