Question

圓錐PO如圖1所示，圖2是它的正（主）視圖．已知圓O的直徑為AB，C是圓周上異于A、B的一點，D為AC的中點
（1）求該圓錐的側(cè)面積S；
（2）求證：平面PAC⊥平面POD；
（3）若∠CAB=60°，在三棱錐A-PBC中，求點A到平面PBC的距離．

Answer 1

考點：點、線、面間的距離計算,棱柱、棱錐、棱臺的側(cè)面積和表面積,平面與平面垂直的判定

專題：綜合題,空間位置關(guān)系與距離

分析：（1）確定圓的半徑，求出圓錐的母線長，可得圓錐的側(cè)面積S；
（2）連接OC，先根據(jù)△AOC是等腰直角三角形證出中線OD⊥AC，再結(jié)合PO⊥AC證出AC⊥POD，利用平面與平面垂直的判定定理，可證出平面POD⊥平面PAC；
（3）若∠CAB=60°利用等體積轉(zhuǎn)化，可求出距離，

解答： （1）解：由正（主）視圖可知圓錐的高PO=

2

，圓O的直徑為AB=2，故半徑r=1．
∴圓錐的母線長PB=

PO2+OB2

=

3

，
∴圓錐的側(cè)面積S=πrl=π×1×

3

=

3

π．            （4分）
（2）證明：連接OC，
∵OA=OC，D為AC的中點，∴OD⊥AC．
∵PO⊥圓O，AC?圓O，∴PO⊥AC．
∵OD∩PO=O，∴AC⊥平面POD．
又AC?平面PAC，∴平面PAC⊥平面POD…（8分）
（3）解：∵AB是直徑，∴∠ACB=90°，又∠CAB=60°，∴S_△CAB=

3

2

∵PO=

2

∴三棱錐A-PBC的體積為

1

3

•

3

2

•

2

=

6

6

，
△PBC中，BC=PB=PC=

3

，∴S_△PBC=

3

4

3

，
設(shè)點A到平面PBC的距離為h，則

1

3

•

3

4

3

h=

6

6

，
∴h=

2 2

3

． （12分）

點評：本題考查三視圖，考查面面垂直，考查側(cè)面積與體積，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．