Question

己知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，a₁=2，當(dāng)n≥2時(shí)，S_n-1+1，a_n，S_n+1成等差數(shù)列．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)bn=

2×3n

Sn•Sn+1

，T_n是數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和，求使得Tn＜

m

20

對所有n∈N^*都成立的最小正整數(shù)m．

Answer 1

分析：（1）利用an=

S1，n=1 Sn-Sn-1，n≥2

及已知可得a_n+1=3a_n，n≥2，又a₁=2，再利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式即可得出；
（2）利用等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式即可得出S_n，即可得出b_n，再利用“裂項(xiàng)求和”即可得出T_n，進(jìn)而得出m．

解答：解：（1）當(dāng)n≥2時(shí)，2a_n=S_n-1+1+S_n+1…①
∴2a_n+1=S_n+1+S_n+1+1…②
②-①化簡得a_n+1=3a_n，n≥2，又a₁=2，
∴數(shù)列{a_n}是以2為首項(xiàng)，3為公比的等比數(shù)列，
∴an=2×3n-1．
（2）由數(shù)列{a_n}是以2為首項(xiàng)，3為公比的等比數(shù)列，
∴Sn=

2×(3n-1)

3-1

=3ⁿ-1．
∴bn=

2×3n

Sn•Sn+1

=

1

3n-1

-

1

3n+1-1

，
∴Tn=

1

2

-

1

3n+1-1

＜

1

2

，

m

20

≥

1

2

恒成立，所以最小正整數(shù)m的值為10．

點(diǎn)評：本題綜合考查了an=

S1，n=1 Sn-Sn-1，n≥2

、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及其前n項(xiàng)和公式、“裂項(xiàng)求和”等基礎(chǔ)知識與基本方法，屬于難題．