Question

如圖，已知正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，O是底面ABCD對角線的交點，求證：
（1）C₁O∥面AB₁D₁
（2）A₁C⊥面AB₁D₁，
（3）若AA₁=2，求A₁到面AB₁D₁的距離．

Answer 1

考點：點、線、面間的距離計算,直線與平面平行的判定,直線與平面垂直的判定

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：（1）直接利用正方形的相關(guān)性質(zhì)和線面平行的判定來證明得出結(jié)果．
（2）利用線面垂直的判定和性質(zhì)得出線面垂直．
（3）利用錐體VA-A1B1D1=VA1-AB1D1，通過相關(guān)的線段成求出距離．

解答： （1）證明：連接A₁C₁和B₁D₁交于點E，連接AE．
由于在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，C₁E∥AO且CE₁=AO
四邊形AOC₁E為平行四邊形．
所以：C₁O∥AE
C₁O?平面AB₁D₁，AE?平面AB₁D₁
所以：C₁O∥平面AB₁D₁
（2）在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，
CC₁⊥B₁D₁，A₁C₁⊥B₁D₁
所以：B₁D₁⊥平面AA₁C₁
B₁D₁⊥A₁C
同理：BC⊥AB₁，A₁B⊥AB₁
所以：AB₁⊥平面A₁BC
所以：A₁C⊥AB₁
所以：A₁C⊥平面AB₁D₁
（3）利用VA-A1B1D1=VA1-AB1D1
設(shè)A₁到面AB₁D₁的距離為h．AA₁=2

1

3

•

1

2

•2•2•2=

1

3

•

1

2

•2

2

•2

2

•sin60°h
解得：h=

2 3

3

點評：本題考查的知識要點：線面平行的判定，線面垂直的判定和性質(zhì)定理，錐體的體積計算及相關(guān)的運算問題，屬于基礎(chǔ)題型．