Question

在如圖所示的四棱錐P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，PA=3，四邊形ABCD為邊長(zhǎng)是2的正方形，E是PB的中點(diǎn)．
（1）求四棱錐P-ABCD的體積；
（2）求證：AD⊥PB；
（3）求證：PD∥平面EAC．

Answer 1

考點(diǎn)：棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積,空間中直線與直線之間的位置關(guān)系,直線與平面平行的判定

專題：綜合題,空間位置關(guān)系與距離

分析：（1）由條件可知：四棱錐P-ABCD是以PA為高，正方形ABCD為底的四棱錐，且PA=3，即可求四棱錐P-ABCD的體積；
（2）證明AD⊥平面PAB，即可證明AD⊥PB；
（3）連BD交AC于O點(diǎn)，顯然點(diǎn)O為BD的中點(diǎn)，連結(jié)EO，證明PD∥平面EAC，只需證明EO∥PD．

解答： （1）解：由條件可知：四棱錐P-ABCD是以PA為高，
正方形ABCD為底的四棱錐，且PA=3，…（1分）
所以四棱錐P-ABCD的體積為VP-ABCD=

1

3

SABCD×PA…（2分）
=

1

3

×2×2×3=4．…（4分）
（2）證明：因?yàn)镻A⊥平面ABCD，AD?平面ABCD，
所以PA⊥AD．
又因?yàn)樗倪呅蜛BCD為正方形，
所以AD⊥AB．…（6分）
又PA∩AB=A，PA，AB?平面PAB，
所以AD⊥平面PAB．…（8分）
又PB?平面PAB，所以AD⊥PB．…（9分）
（3）證明：連BD交AC于O點(diǎn)，顯然點(diǎn)O為BD的中點(diǎn)，連結(jié)EO．   …（11分）
因?yàn)镋，O分別為PB，BD的中點(diǎn)，所以EO∥PD．…（13分）
而EO?平面EAC，PD?平面EAC，所以PD∥面EAC．…（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查了線面平行的判定，線面垂直的性質(zhì)及判定，考查了棱錐的體積公式，考查了學(xué)生的推理論證能力，綜合性強(qiáng)．