如圖在邊長(zhǎng)為a的正方形ABCD中，E、F分別為邊BC、CD中點(diǎn)，設(shè)
AE
=
α
，
AF
=
β
．
（1）試用
α
、
β
表示向量
AB
、
AD
；
（2）求向量
α
、
β
夾角的大�。�
考點(diǎn)：平面向量數(shù)量積的運(yùn)算,向量加減混合運(yùn)算及其幾何意義
專題：平面向量及應(yīng)用
分析：（1）由E、F分別為邊BC、CD中點(diǎn)，
AE
=
α
，
AF
=
β
．利用向量的三角形法則和向量相等可得
AB
+
1
2
AD
=
α
，
AD
+
1
2
AB
=
β
．聯(lián)立解得即可．
（2）已知|
AB
|=|
AD
|=a，
AB
•
AD
=0．由（1）利用向量的數(shù)量積性質(zhì)和模的計(jì)算公式可得
α
•
β
=a2．|
α
|=
AB
2+
1
4
AD
2+
AB
•
AD
=
5
2
a，同理可得|
β
|=
5
2
a2．再利用向量的夾角公式即可得出．
解答： 解：（1）∵E、F分別為邊BC、CD中點(diǎn)，
AE
=
α
，
AF
=
β
．
∴
AE
=
AB
+
BE
=
AB
+
1
2
BC
=
AB
+
1
2
AD
=
α
，
AF
=
AD
+
DF
=
AD
+
1
2
DC
=
AD
+
1
2
AB
=
β
．
解得
AB
=
4
3
α
-
2
3
β
，
AD
=
4
3
β
-
2
3
α
．
（2）|
AB
|=|
AD
|=a，
AB
•
AD
=0．
∴
α
•
β
=(
AB
+
1
2
AD
)•(
1
2
AB
+
AD
)=
1
2
AB
2+
1
2
AD
2+0=a2．
|
α
|=
AB
2+
1
4
AD
2+
AB
•
AD
=
a2+
1
4
a2
=
5
2
a，同理可得|
β
|=
5
2
a2．
∴cos＜
α
，
β
＞=
α
•
β
|
α
| |
β
|
=
a2
5
4
a2
=
4
5
．
∴向量
α
、
β
夾角為arccos
4
5
．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了向量的三角形法則、數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)、向量的夾角公式，考查了推理能力和計(jì)算能力，屬于中檔題．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

如圖，在四棱錐P-ABCD中，PC⊥底面ABCD，ABCD是直角梯形，AB⊥AD，AB∥CD，E是PB的中點(diǎn)，AB=2AD=2CD=2，PC=
2
．
（Ⅰ）求證：AC⊥平面PBC；
（Ⅱ）求三棱錐C-ABE高的大�。�

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=sin（ωx+
π
6
）+sin（ωx-
π
6
）-2cos2
ωx
2
，x∈R（其中ω＞0）
（1）求函數(shù)f（x）的值域；
（2）若函數(shù)y=f（x）的圖象與直線y=-1的兩個(gè)相鄰交點(diǎn)間的距離為
π
2
，求函數(shù)y=f（x）的對(duì)稱軸．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

在如圖所示的四棱錐P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，PA=3，四邊形ABCD為邊長(zhǎng)是2的正方形，E是PB的中點(diǎn)．
（1）求四棱錐P-ABCD的體積；
（2）求證：AD⊥PB；
（3）求證：PD∥平面EAC．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

若A、B是橢圓
x2
4
+y2=1上兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，OH⊥AB于點(diǎn)H，又OA與OB斜率分別為k1，k2，且滿足k1•k2=-
3
4

（1）求點(diǎn)H的軌跡方程
（2）求△OAB面積的最大值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=ln（1+x）-
ax
x+1
（a＞0）．
（1）實(shí)數(shù)a為何值時(shí)，使得f（x）在（0，+∞）內(nèi)單調(diào)遞增；
（2）試比較（
2013
2014
）2014與
1
e
的大小．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知點(diǎn)A（1，-1），B（5，1），直線l經(jīng)過(guò)點(diǎn)A，且與直線3x+4y-10=0平行，
（Ⅰ）求直線l的方程；
（Ⅱ）求以B為圓心，并且與直線l相切的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知復(fù)數(shù)|z|=2，求復(fù)數(shù)
3
+i+z的模的最大值、最小值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

對(duì)于在R上的函數(shù)y=f（x）滿足：（1）對(duì)任意x∈R，都有f（x3）=f3（x）；（2）對(duì)任意x1，x2∈R，
x1≠x2，都有f（x1）≠f（x2），則f（0）+f（1）+f（-1）=
 
．

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