如圖，在平面直角坐標系xOy中，橢圓E：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的焦距為2，且過點(
2
，
6
2
)．
（1）求橢圓E的方程；
（2）若點A，B分別是橢圓E的左、右頂點，直線l經(jīng)過點B且垂直于x軸，點P是橢圓上異于A，B的任意一點，直線AP交l于點M．
（�。┰O直線OM的斜率為k1，直線BP的斜率為k2，求證：k1k2為定值；
（ⅱ）設過點M垂直于PB的直線為m．求證：直線m過定點，并求出定點的坐標．
（1）由題意得2c=2，∴c=1，又
2
a2
+
3
2b2
=1，a2=b2+1．
消去a可得，2b4-5b2-3=0，解得b2=3或b2=-
1
2
（舍去），則a2=4，
∴橢圓E的方程為
x2
4
+
y2
3
=1．
（2）（�。┰OP（x1，y1）（y1≠0），M（2，y0），則k1=
y0
2
，k2=
y1
x1-2
，
∵A，P，M三點共線，∴y0=
4y1
x1+2
，∴k1k2=
y0y1
2(x1-2)
=
4y12
2(
x21
-4)
，
∵P（x1，y1）在橢圓上，∴
y21
=
3
4
(4-
x21
)，故k1k2=
4y12
2(
x21
-4)
=-
3
2
為定值．
（ⅱ）直線BP的斜率為k2=
y1
x1-2
，直線m的斜率為km=
2-x1
y1
，
則直線m的方程為y-y0=
2-x1
y1
(x-2)，y=
2-x1
y1
(x-2)+y0=
2-x1
y1
x-
2(2-x1)
y1
+
4y1
x1+2
=
2-x1
y1
x+
2(x12-4)+4
y21
(x1+2)y1
=
2-x1
y1
x+
2(x12-4)+12-3
x21
(x1+2)y1
=
2-x1
y1
x+
2-x1
y1
=
2-x1
y1
(x+1)，
即y=
2-x1
y1
(x+1)．
所以直線m過定點（-1，0）．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

（本小題滿分13分）已知橢圓的中心在原點O，短軸長為，其焦點F（c，0）（c＞0）對應的準線l與x軸交于A點，|OF|=2|FA|，過A的直線與橢圓交于P、Q兩點.
（1）求橢圓的方程；（2）若，求直線PQ的方程； （3）設，過點P且平行于準線l的直線與橢圓相交于另一點M. 求證F、M、Q三點共線.

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

已知A、B、C是長軸長為4的橢圓上的三點，點A是長軸的一個頂點，BC過橢圓中心O，如圖，且
AC
•
BC
=0，|BC|=2|AC|．
（1）求橢圓的方程；
（2）如果橢圓上兩點P、Q使∠PCQ的平分線垂直AO，則總存在實數(shù)λ，使
PQ
=λ
AB
，請給出證明．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的長軸長是短軸長的兩倍，且過點A（2，1）．
（1）求橢圓C的標準方程；
（2）若直線l：x-1-y=0與橢圓C交于不同的兩點M，N，求|MN|的值．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

（文）如圖，O為坐標原點，過點P（2，0）且斜率為k的直線l交拋物線y2=2x于A（x1，y1），B（x2，y2）兩點．
（1）求x1x2與y1y2的值；
（2）求證：OA⊥OB．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：填空題

過橢圓左焦點F，傾斜角為
π
3
的直線交橢圓于A，B兩點，若|FA|=2|FB|，則橢圓的離心率為______．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

已知橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）經(jīng)過點A（1，
2
2
），且離心率為
2
2
，過點B（2，0）的直線l與橢圓交于不同的兩點M、N．
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）求
.
BM
•
.
BN
的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

已知雙曲線C的漸近線為y=±
3
3
x且過點M（
6
，1）．
（1）求雙曲線C的方程；
（2）若直線l：y=kx+m，（m≠0）與雙曲線C相交于A，B兩點，D（0，-1）且有|AD|=|BD|，試求m的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

已知平面內(nèi)一點P與兩個定點F1(-
3
，0)和F2(
3
，0)的距離的差的絕對值為2．
（Ⅰ）求點P的軌跡方程C；
（Ⅱ）設過（0，-2）的直線l與曲線C交于A，B兩點，且OA⊥OB（O為坐標原點），求直線l的方程．

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