已知A、B、C是長軸長為4的橢圓上的三點，點A是長軸的一個頂點，BC過橢圓中心O，如圖，且
AC
•
BC
=0，|BC|=2|AC|．
（1）求橢圓的方程；
（2）如果橢圓上兩點P、Q使∠PCQ的平分線垂直AO，則總存在實數(shù)λ，使
PQ
=λ
AB
，請給出證明．
（1）以O為原點，OA所在的直線為x軸建立如圖所示的直角坐標系，
則A（2，0），設所求橢圓的方程為：x2+
y2
b2
=4（0＜b＜1），由橢圓的對稱性知|OC|=|OB|，
由
AC
•
BC
=0得AC⊥BC，
∵|BC|=2|AC|，
∴|OC|=|AC|，
∴△AOC是等腰直角三角形，
∴C的坐標為（1，1），
∵C點在橢圓上
∴1+
1
b2
=4，
∴b2=
1
3
，所求的橢圓方程為x2+3y2=4．
（Ⅱ）由于∠PCQ的平分線垂直O(jiān)A（即垂直于x軸），
不妨設直線PC的斜率為k，則直線QC的斜率為-k，
直線PC的方程為：y=k（x-1）+1，直線QC的方程為y=-k（x-1）+1，
由
y=k(x-1)+1
x2+3y2-4=0
得：（1+3k2）x2-6k（k-1）x+3k2-6k-1=0（*）
∵點C（1，1）在橢圓上，
∴x=1是方程（*）的一個根，則其另一根為
3k2-6k-1
1+3k2
，設P（xP，yP），?Q（xQ，yQ），xP=
3k2-6k-1
1+3k2
，同理xQ=
3k2+6k-1
1+3k2
，
kPQ=
yp-yQ
xP-xQ
=
k(xP+xQ)-2k
xP-xQ
=
k(
3k2-6k-1
1+3k2
+
3k2+6k-1
1+3k2
)-2k
3k2-6k-1
1+3k2
-
3k2+6k-1
1+3k2
=
1
3

而由對稱性知B（-1，-1），又A（2，0），
∴kAB=
1
3
，
∴kPQ=kAB，
∴
AB
與
PQ
共線，且
AB
≠0，即存在實數(shù)λ，使
PQ
=λ
AB
．
練習冊系列答案
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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：填空題

與圓外切，且與y軸相切的動圓圓心的軌跡方程為         .

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如圖,橢圓中心在坐標原點,F為左焦點,當時,其離心率為,此類橢圓被稱為“黃金橢圓”.類比“黃金橢圓”,可推算出”黃金雙曲線”的離心率e等于  ▲     

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點P到x軸的距離比它到點（0，1）的距離小1，稱點P的軌跡為曲線C，點M為直線l：y=-m（m＞0）上任意一點，過點M作曲線C的兩條切線MA，MB，切點分別為A，B．
（1）求曲線C的軌跡方程；
（2）當M的坐標為（0，-l）時，求過M，A，B三點的圓的標準方程，并判斷直線l與此圓的位置關系；
（3）當m變化時，試探究直線l上是否存在點M，使MA⊥MB？若存在，有幾個這樣的點，若不存在，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

已知拋物線的頂點在坐標原點O，焦點F在x軸正半軸上，傾斜角為銳角的直線l過F點，設直線l與拋物線交于A、B兩點，與拋物線的準線交于M點，
MF
=λ
FB
（λ＞0）
（1）若λ=1，求直線l斜率
（2）若點A、B在x軸上的射影分別為A1，B1且|
B1F
|，|
OF
|，2|
A1F
|成等差數(shù)列求λ的值
（3）設已知拋物線為C1：y2=x，將其繞頂點按逆時針方向旋轉90°變成C1′．圓C2：x2+（y-4）2=1的圓心為點N．已知點P是拋物線C1′上一點（異于原點），過點P作圓C2的兩條切線，交拋物線C′1于T，S，兩點，若過N，P兩點的直線l垂直于TS，求直線l的方程．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

已知拋物線C的頂點在坐標原點，以坐標軸為對稱軸，且準線方程為x=-1．
（1）求拋物線C的標準方程；
（2）過拋物線C焦點的直線l交拋物線于A，B兩點，如果要同時滿足：①|AB|≤8；②直線l與橢圓3x2+2y2=2有公共點，試確定直線l傾斜角的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：單選題

直線y=x+2與雙曲線
x2
m
-
y2
3
=1有兩個公共點，則m的取值范圍是（　　）
A．m＞-1且m≠3B．0＜m＜7且m≠3C．m＞7D．m＜0

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

如圖，在平面直角坐標系xOy中，橢圓E：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的焦距為2，且過點(
2
，
6
2
)．
（1）求橢圓E的方程；
（2）若點A，B分別是橢圓E的左、右頂點，直線l經過點B且垂直于x軸，點P是橢圓上異于A，B的任意一點，直線AP交l于點M．
（�。┰O直線OM的斜率為k1，直線BP的斜率為k2，求證：k1k2為定值；
（ⅱ）設過點M垂直于PB的直線為m．求證：直線m過定點，并求出定點的坐標．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

已知橢圓C與雙曲線
x2
2
-
y2
6
=1有相同焦點F1和F2，過F1的直線交橢圓于A、B兩點，△ABF2的周長為8
3
．若直線y=t（t＞0）與橢圓C交于不同的兩點E、F，以線段EF為直徑作圓M．
（1）求橢圓C的標準方程；
（2）若圓M與x軸相切，求圓M被直線x-
3
y+1=0截得的線段長．

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