Question

【題目】已知函數(shù)，其中，為自然對數(shù)的底數(shù).

（Ⅰ）設(shè)是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，求函數(shù)在區(qū)間上的最小值；

（Ⅱ）若，函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有零點(diǎn)，求的取值范圍

Answer 1

【答案】（Ⅰ）當(dāng)時，；當(dāng)時，；

當(dāng)時，.（Ⅱ）的范圍為.

【解析】

試題分析：（Ⅰ）易得，再對分情況確定的單調(diào)區(qū)間，根據(jù)在上的單調(diào)性即可得在上的最小值.（Ⅱ）設(shè)為在區(qū)間內(nèi)的一個零點(diǎn)，注意到.聯(lián)系到函數(shù)的圖象可知，導(dǎo)函數(shù)在區(qū)間內(nèi)存在零點(diǎn)，在區(qū)間內(nèi)存在零點(diǎn)，即在區(qū)間內(nèi)至少有兩個零點(diǎn). 由（Ⅰ）可知，當(dāng)及時，在內(nèi)都不可能有兩個零點(diǎn).所以.此時，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，因此，且必有.由得：，代入這兩個不等式即可得的取值范圍.

試題解答：（Ⅰ）

①當(dāng)時，，所以.

②當(dāng)時，由得.

若，則；若，則.

所以當(dāng)時，在上單調(diào)遞增，所以.

當(dāng)時，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以.

當(dāng)時，在上單調(diào)遞減，所以.

（Ⅱ）設(shè)為在區(qū)間內(nèi)的一個零點(diǎn)，則由可知，

在區(qū)間上不可能單調(diào)遞增，也不可能單調(diào)遞減.

則不可能恒為正，也不可能恒為負(fù).

故在區(qū)間內(nèi)存在零點(diǎn).

同理在區(qū)間內(nèi)存在零點(diǎn).

所以在區(qū)間內(nèi)至少有兩個零點(diǎn).

由（Ⅰ）知，當(dāng)時，在上單調(diào)遞增，故在內(nèi)至多有一個零點(diǎn).

當(dāng)時，在上單調(diào)遞減，故在內(nèi)至多有一個零點(diǎn).

所以.

此時，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，

因此，必有

.

由得：，有

.

解得.

當(dāng)時，在區(qū)間內(nèi)有最小值.

若，則，

從而在區(qū)間上單調(diào)遞增，這與矛盾，所以.

又，

故此時在和內(nèi)各只有一個零點(diǎn)和.

由此可知在上單調(diào)遞增，在 上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.

所以，，

故在 內(nèi)有零點(diǎn).

綜上可知，的取值范圍是.