【題目】已知函數(shù)f(x)=x﹣ln(x+a)的最小值為0,其中a>0.
(1)求a的值;
(2)若對任意的x∈[0,+∞),有f(x)≤kx2成立,求實(shí)數(shù)k的最小值;
(3)證明: (n∈N*).

【答案】
(1)解:函數(shù)的定義域?yàn)椋ī乤,+∞),求導(dǎo)函數(shù)可得

令f′(x)=0,可得x=1﹣a>﹣a

令f′(x)>0,x>﹣a可得x>1﹣a;令f′(x)<0,x>﹣a可得﹣a<x<1﹣a

∴x=1﹣a時(shí),函數(shù)取得極小值且為最小值

∵函數(shù)f(x)=x﹣ln(x+a)的最小值為0,

∴f(1﹣a)=1﹣a﹣0,解得a=1


(2)解:當(dāng)k≤0時(shí),取x=1,有f(1)=1﹣ln2>0,故k≤0不合題意

當(dāng)k>0時(shí),令g(x)=f(x)﹣kx2,即g(x)=x﹣ln(x+1)﹣kx2

求導(dǎo)函數(shù)可得g′(x)=

g′(x)=0,可得x1=0,

①當(dāng)k≥ 時(shí), ,g′(x)<0在(0,+∞)上恒成立,因此g(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞減,從而對任意的x∈[0,+∞),總有g(shù)(x)≤g(0)=0,即對任意的x∈[0,+∞),有f(x)≤kx2成立;

②當(dāng)0<k< 時(shí), ,對于 ,g′(x)>0,因此g(x)在 上單調(diào)遞增,

因此取 時(shí),g(x0)≥g(0)=0,即有f(x0)≤kx02不成立;

綜上知,k≥ 時(shí)對任意的x∈[0,+∞),有f(x)≤kx2成立,k的最小值為


(3)證明:當(dāng)n=1時(shí),不等式左邊=2﹣ln3<2=右邊,所以不等式成立

當(dāng)n≥2時(shí),

在(2)中,取k= ,得f(x)≤ x2,∴ (i≥2,i∈N*).

=f(2)+ <2﹣ln3+ =2﹣ln3+1﹣ <2

綜上, (n∈N*


【解析】(1)確定函數(shù)的定義域,求導(dǎo)函數(shù),確定函數(shù)的單調(diào)性,求得函數(shù)的最小值,利用函數(shù)f(x)=x﹣ln(x+a)的最小值為0,即可求得a的值;(2)當(dāng)k≤0時(shí),取x=1,有f(1)=1﹣ln2>0,故k≤0不合題意;當(dāng)k>0時(shí),令g(x)=f(x)﹣kx2 , 即g(x)=x﹣ln(x+1)﹣kx2 , 求導(dǎo)函數(shù),令g′(x)=0,可得x1=0, ,分類討論:①當(dāng)k≥ 時(shí), ,g(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞減,g(x)≤g(0)=0;②當(dāng)0<k< 時(shí), ,對于 ,g′(x)>0,因此g(x)在 上單調(diào)遞增,由此可確定k的最小值;(3)當(dāng)n=1時(shí),不等式左邊=2﹣ln3<2=右邊,不等式成立;當(dāng)n≥2時(shí), ,在(2)中,取k= ,得f(x)≤ x2 , 從而可得 ,由此可證結(jié)論.
【考點(diǎn)精析】認(rèn)真審題,首先需要了解函數(shù)的最大(小)值與導(dǎo)數(shù)(求函數(shù)上的最大值與最小值的步驟:(1)求函數(shù)內(nèi)的極值;(2)將函數(shù)的各極值與端點(diǎn)處的函數(shù)值比較,其中最大的是一個(gè)最大值,最小的是最小值).

練習(xí)冊系列答案
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【題目】某市居民自來水收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)如下:每戶每月用水不超過4噸時(shí),每噸為1.80元,當(dāng)用水超過4噸時(shí),超過部分每噸3.00元,某月甲、乙兩戶共交水費(fèi)y元,已知甲、乙兩戶該月用水量分別為5x噸、3x噸.

(1)y關(guān)于x的函數(shù);

(2)若甲、乙兩戶該月共交水費(fèi)26.4元,分別求出甲、乙兩戶該月的用水量和水費(fèi).

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【題目】已知a>0,b∈R,函數(shù)f(x)=4ax3﹣2bx﹣a+b.
(1)證明:當(dāng)0≤x≤1時(shí),
(i)函數(shù)f(x)的最大值為|2a﹣b|+a;
(ii)f(x)+|2a﹣b|+a≥0;
(2)若﹣1≤f(x)≤1對x∈[0,1]恒成立,求a+b的取值范圍.

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【題目】已知函數(shù).

(1)若不等式的解集為,求實(shí)數(shù)的值;

(2)在(1)的條件下,若存在實(shí)數(shù)使成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍.

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【題目】深受廣大球迷喜愛的某支歐洲足球隊(duì).在對球員的使用上總是進(jìn)行數(shù)據(jù)分析,為了考察甲球員對球隊(duì)的貢獻(xiàn),現(xiàn)作如下數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì):

球隊(duì)勝

球隊(duì)負(fù)

總計(jì)

甲參加

22

b

30

甲未參加

c

12

d

總計(jì)

30

e

n

(1)求b,c,d,e,n的值,據(jù)此能否有97.7%的把握認(rèn)為球隊(duì)勝利與甲球員參賽有關(guān);

(2)根據(jù)以往的數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì),乙球員能夠勝任前鋒、中鋒、后衛(wèi)以及守門員四個(gè)位置,且出場率分別為:0.2,0.5,0.2,0.1,當(dāng)出任前鋒、中鋒、后衛(wèi)以及守門員時(shí),球隊(duì)輸球的概率依次為:0.4,0.2,0.6,0.2.則:

當(dāng)他參加比賽時(shí),求球隊(duì)某場比賽輸球的概率;

當(dāng)他參加比賽時(shí),在球隊(duì)輸了某場比賽的條件下,求乙球員擔(dān)當(dāng)前鋒的概率;

附表及公式:

0.15

0.10

0.05

0.025

0.010

0.005

0.001

k

2.072

2.706

3.841

5.024

6.635

7.879

10.828

.

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【題目】已知橢圓,其焦距為,若,則稱橢圓為“黃金橢圓”.黃金橢圓有如下性質(zhì):“黃金橢圓”的左、右焦點(diǎn)分別是,以,,,為頂點(diǎn)的菱形的內(nèi)切圓過焦點(diǎn),.

(1)類比“黃金橢圓”的定義,試寫出“黃金雙曲線”的定義;

(2)類比“黃金橢圓”的性質(zhì),試寫出“黃金雙曲線”的性質(zhì),并加以證明.

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【題目】智能手機(jī)的出現(xiàn),改變了我們的生活,同時(shí)也占用了我們大量的學(xué)習(xí)時(shí)間.某市教育機(jī)構(gòu)從名手機(jī)使用者中隨機(jī)抽取名,得到每天使用手機(jī)時(shí)間(單位:分鐘)的頻率分布直方圖(如圖所示),其分組是: .

1)根據(jù)頻率分布直方圖,估計(jì)這名手機(jī)使用者中使用時(shí)間的中位數(shù)是多少分鐘? (精確到整數(shù))

2)估計(jì)手機(jī)使用者平均每天使用手機(jī)多少分鐘? (同一組中的數(shù)據(jù)以這組數(shù)據(jù)所在區(qū)間中點(diǎn)的值作代表)

3)在抽取的名手機(jī)使用者中在中按比例分別抽取人和人組成研究小組,然后再從研究小組中選出名組長.求這名組長分別選自的概率是多少?

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【題目】某市國慶節(jié)天假期的樓房認(rèn)購量(單位:套)與成交量(單位:套)的折線圖如圖所示,小明同學(xué)根據(jù)折線圖對這天的認(rèn)購量與成交量作出如下判斷:①日成交量的中位數(shù)是;②日成交量超過日平均成交量的有天;③認(rèn)購量與日期正相關(guān);④日認(rèn)購量的增量大于日成交量的增量.上述判斷中錯(cuò)誤的個(gè)數(shù)為( )

A. B. C. D.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn , 且a2an=S2+Sn對一切正整數(shù)n都成立.
(1)求a1 , a2的值;
(2)設(shè)a1>0,數(shù)列{lg }的前n項(xiàng)和為Tn , 當(dāng)n為何值時(shí),Tn最大?并求出Tn的最大值.

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