【題目】已知a>0,b∈R,函數(shù)f(x)=4ax3﹣2bx﹣a+b.
(1)證明:當(dāng)0≤x≤1時(shí),
(i)函數(shù)f(x)的最大值為|2a﹣b|+a;
(ii)f(x)+|2a﹣b|+a≥0;
(2)若﹣1≤f(x)≤1對(duì)x∈[0,1]恒成立,求a+b的取值范圍.
【答案】
(1)證明:(。ゝ′(x)=12a(x2﹣ )
當(dāng)b≤0時(shí),f′(x)>0,在0≤x≤1上恒成立,此時(shí)最大值為:f(1)=|2a﹣b|﹢a;
當(dāng)b>0時(shí),在0≤x≤1上的正負(fù)性不能判斷,f'(x)在區(qū)間[0,1]先負(fù)后可能正,f(x)圖象在[0,1]區(qū)間內(nèi)是凹下去的,所以最大值正好取在區(qū)間的端點(diǎn),此時(shí)最大值為:f(x)max=max{f(0),f(1)}=|2a﹣b|﹢a;
綜上所述:函數(shù)在0≤x≤1上的最大值為|2a﹣b|﹢a;
(ⅱ) 要證f(x)+|2a﹣b|+a≥0,即證g(x)=﹣f(x)≤|2a﹣b|﹢a.
亦即證g(x)在0≤x≤1上的最大值小于(或等于)|2a﹣b|﹢a,
∵g(x)=﹣4ax3+2bx+a﹣b,∴令g′(x)=﹣12ax2+2b=0,
當(dāng)b≤0時(shí), ;g′(x)<0在0≤x≤1上恒成立,
此時(shí)g(x)的最大值為:g(0)=a﹣b<3a﹣b=|2a﹣b|﹢a;
當(dāng)b>0時(shí),g′(x)在0≤x≤1上的正負(fù)性不能判斷,
∴g(x)max=max{g( ),g(1)}={ }=
∴g(x)max≤|2a﹣b|﹢a;
綜上所述:函數(shù)g(x)在0≤x≤1上的最大值小于(或等于)|2a﹣b|﹢a.
即f(x)+|2a﹣b|+a≥0在0≤x≤1上恒成立.
(2)解:由(1)知:函數(shù)在0≤x≤1上的最大值為|2a﹣b|﹢a,且函數(shù)在0≤x≤1上的最小值比﹣(|2a﹣b|﹢a)要大.
∵﹣1≤f(x)≤1對(duì)x∈[0,1]恒成立,
∴|2a﹣b|﹢a≤1.
取b為縱軸,a為橫軸,則可行域?yàn)椋? 或 ,目標(biāo)函數(shù)為z=a+b.
作圖如右:
由圖易得:a+b的取值范圍為(﹣1,3]
【解析】(Ⅰ)(。┣髮(dǎo)函數(shù),再分類討論:當(dāng)b≤0時(shí),f′(x)>0在0≤x≤1上恒成立,此時(shí)最大值為:f(1)=|2a﹣b|﹢a;當(dāng)b>0時(shí),在0≤x≤1上的正負(fù)性不能判斷,此時(shí)最大值為:f(x)max=max{f(0),f(1)}=|2a﹣b|﹢a,由此可得結(jié)論;(ⅱ) 利用分析法,要證f(x)+|2a﹣b|+a≥0,即證g(x)=﹣f(x)≤|2a﹣b|﹢a.亦即證g(x)在0≤x≤1上的最大值小于(或等于)|2a﹣b|﹢a.(Ⅱ)由(Ⅰ)知:函數(shù)在0≤x≤1上的最大值為|2a﹣b|﹢a,且函數(shù)在0≤x≤1上的最小值比﹣(|2a﹣b|﹢a)要大.根據(jù)﹣1≤f(x)≤1對(duì)x∈[0,1]恒成立,可得|2a﹣b|﹢a≤1,從而利用線性規(guī)劃知識(shí),可求a+b的取值范圍.
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解函數(shù)的最大(小)值與導(dǎo)數(shù)的相關(guān)知識(shí),掌握求函數(shù)在上的最大值與最小值的步驟:(1)求函數(shù)在內(nèi)的極值;(2)將函數(shù)的各極值與端點(diǎn)處的函數(shù)值,比較,其中最大的是一個(gè)最大值,最小的是最小值.
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(2)設(shè)函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有兩個(gè)極值點(diǎn).
①求實(shí)數(shù)的取值范圍;
②設(shè)函數(shù)的極大值和極小值的差為,求實(shí)數(shù)的取值范圍 .
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(1)判斷在上的增減性,并證明你的結(jié)論
(2)解關(guān)于的不等式
(3)若在上恒成立,求的取值范圍
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(1)求X的分布列;
(2)求X的數(shù)學(xué)期望E(X).
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(Ⅰ)求證:;
(Ⅱ)求二面角的余弦值;
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(1)求a的值;
(2)若對(duì)任意的x∈[0,+∞),有f(x)≤kx2成立,求實(shí)數(shù)k的最小值;
(3)證明: (n∈N*).
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