Question

已知函數(shù)f（x）=|x-1|．
（Ⅰ）解不等式f（x-1）+f（x+3）≥6；
（Ⅱ）若|a|＜1，|b|＜1，且a≠0，求證：f(ab)＞|a|f(

b

a

)．

Answer 1

考點：不等式的證明,絕對值不等式,絕對值不等式的解法

專題：不等式

分析：（Ⅰ）根據絕對值不等式的解法解不等式f（x-1）+f（x+3）≥6即可；
（Ⅱ）利用分析法　進行證明不等式．

解答： 解：（ I）∵f（x）=|x-1|．
∴不等式f（x-1）+f（x+3）≥6等價|x-2|+|x+2|≥6，
若當x≥2時，不等式等價為x-2+x+2≥6，
即2x≥6，解得x≥3．
當-2＜x＜2時，不等式等價為2-x+x+2≥6，
即4≥6，此時不成立．
當x≤-2時，不等式等價為2-x-x-2≥6，
即2x≤-6，即x≤-3．
綜上不等式的解集為（-∞，-3]∪[3，+∞）．
（ II）要證f(ab)＞|a|f(

b

a

)，
只需證|ab-1|＞|b-a|，
只需證（ab-1）²＞（b-a）²
而（ab-1）²-（b-a）²=a²b²-a²-b²+1=（a²-1）（b²-1）＞0，
∵|a|＜1，|b|＜1，
∴a²＜1，b²＜1，
即a²-1＜0，b²-1＜0，
即（a²-1）（b²-1）＞0，成立，
從而原不等式成立．

點評：本題主要考查絕對值不等式的解法，要注意進行分段討論．