Question

已知函數(shù)f（x）=

1

2

ax²+x-a，x∈[

2

，2]，其中a為實數(shù)．
（1）求函數(shù)的最大值g（a）；
（2）若對于任意的非零實數(shù)a，不等式g（a）≥λg（

1

a

）恒成立，求實數(shù)λ的取值范圍．

Answer 1

考點：函數(shù)恒成立問題,二次函數(shù)的性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應用

分析：（1）當a=0時，直接由一次函數(shù)的單調(diào)性求最值，當a≠0時，根據(jù)二次函數(shù)的對稱軸與給出的定義域的關(guān)系分類討論，由單調(diào)性求最值；
（2）結(jié)合（1）中求出的g（a）的解析式，分類討論，把對應的函數(shù)解析式代入不等式g（a）≥λg（

1

a

），然后分離變量，再借助于函數(shù)的單調(diào)性求解λ的取值范圍，最后取并集．

解答： 解：（1）當a=0時，f（x）=x，函數(shù)在[

2

，2]上的最大值為2，即g（a）=2；
當a≠0時，函數(shù)的對稱軸方程為x=-

1

a

，若a＞0，函數(shù)在[

2

，2]上的最大值為a+2，即g（a）=a+2；
若a≤-

2

2

，則0＜-

1

a

≤

2

，函數(shù)在[

2

，2]上為減函數(shù)，函數(shù)在[

2

，2]上的最大值為

2

，即g（a）=

2

；
若-

1

2

≤a＜0，則-

1

a

≥2，函數(shù)在[

2

，2]上為增函數(shù)，在[

2

，2]上的最大值為a+2，即g（a）=a+2；
若-

2

2

＜a＜-

1

2

，函數(shù)在[

2

，2]上的最大值為f(-

1

a

)=-

1

2a

-a．
綜上，g(a)=

a+2  (a≥- 1 2 ) - 1 2a -a  (- 2 2 ＜a＜- 1 2 ) 2    (a≤- 2 2 )

；
（2）當a＞0時，

1

a

＞0，由g（a）≥λg（

1

a

）恒成立，得a+2≥λ（

1

a

+2）恒成立，
即λ≤

a2+2a

2a+1

=

1

2

[(a+

1

2

)-

3 4

a+ 1 2

+1]，∴λ≤0；
當-

1

2

≤a＜0時，

1

a

≤-2，由不等式g（a）≥λg（

1

a

）恒成立，得a+2≥

2

λ，
即λ≤

2

2

a+

2

，∴λ≤

3 2

4

；
當-

2

2

＜a＜-

1

2

時，由不等式g（a）≥λg（

1

a

）恒成立，得-

1

2a

-a≥

2

λ，
即λ≤-

2

4a

-

2

2

a，∴λ≤-

2

4×(- 1 2 )

-

2

2

×(-

1

2

)=

3 2

4

；
當-

2

≤a≤-

2

2

時，-

2

≤

1

a

≤-

2

2

，由不等式g（a）≥λg（

1

a

）恒成立，得

2

≥λ

2

，∴λ=1；
當-2＜a＜-

2

時，-

2

2

＜

1

a

＜-

1

2

，由不等式g（a）≥λg（

1

a

）恒成立，得

2

≥λ(-

a

2

-

1

a

)，
即λ≤

2

- a 2 - 1 a

，∴λ≤1；
當a≤-2時，-

1

2

≤

1

a

＜0，由不等式g（a）≥λg（

1

a

）恒成立，得

2

≥λ(

1

a

+2)，
即λ≤

2

1 a +2

，∴λ≤

2 2

3

．
綜上，實數(shù)λ的取值范圍是λ≤

3 2

4

．

點評：本題考查恒成立問題，考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，重點考查分類討論的數(shù)學思想方法，該題討論復雜，繁瑣，難度較大．