Question

【題目】如圖，在四棱錐中，底面為正方形，平面，已知，為線段的中點(diǎn).

（Ⅰ）求證：平面；

（Ⅱ）求平面與平面夾角的余弦值.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）見解析；（Ⅱ）.

【解析】

試題分析：（Ⅰ）由，得平面；（Ⅱ）由，，以為原點(diǎn)，以為軸建立如圖所示的坐標(biāo)系，求平面的法向量為，平面的法向量為，則兩向量的余弦值為，又所求二面角為鈍角，故二面角的平面角的余弦值為.

試題解析：證明：（Ⅰ）連接和交于，連接，

為正方形，為中點(diǎn)，

為中點(diǎn)，，

平面，平面，

平面.

（Ⅱ）解：平面，平面，

為正方形，，

平面，平面，

平面，

以為原點(diǎn)，以為軸建立如圖所示的坐標(biāo)系，

則，，，，

平面，平面，，，

，為正方形，，，

由為正方形可得：，，

設(shè)平面的法向量為，

，

由，

令，則，

設(shè)平面的法向量為，

，

由，

令，則，，

設(shè)二面角的平面角的大小為，則

二面角的平面角的余弦值為