Question

8．正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=a，AA₁=2a，M，N分別為BB₁，DD₁的中點(diǎn)．
（1）求B₁N與平面A₁B₁C₁D₁所成角的大�。�
（2）求異面直線A₁M與B₁C所成角的大小．
（3）若正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的體積為V，求三棱錐M-A₁B₁C₁的體積．

Answer 1

分析 （1）連接B₁D₁，則∠D₁B₁N是B₁N與平面A₁B₁C₁D₁所成角；
（2）∠MA₁D是異面直線A₁M與B₁C所成的角（或補(bǔ)角），利用余弦定理求解即可；
（3）三棱錐M-A₁B₁C₁的體積=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×{B}_{1}{A}_{1}×{B}_{1}{C}_{1}×\frac{1}{2}B{B}_{1}$，即可得出結(jié)論．

解答 解：（1）連接B₁D₁，則∠D₁B₁N是B₁N與平面A₁B₁C₁D₁所成角，
∴D₁N=a，B₁D₁=$\sqrt{2}$a，
∴tan∠D₁B₁N=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴B₁N與平面A₁B₁C₁D₁所成角為arctan$\frac{\sqrt{2}}{2}$；
（2）∵A₁D∥B₁C
∴∠MA₁D是異面直線A₁M與B₁C所成的角（或補(bǔ)角），
∵M(jìn)A₁=$\sqrt{2}$a，A₁D=$\sqrt{5}$a，MD=$\sqrt{3}$a，
∴cos∠MA₁D=$\frac{2{a}^{2}+5{a}^{2}-3{a}^{2}}{2×\sqrt{2}a×\sqrt{5}a}$=$\frac{\sqrt{10}}{5}$，
∴異面直線A₁M與B₁C所成的角為arccos$\frac{\sqrt{10}}{5}$；
（3）∵正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的體積為V，
∴三棱錐M-A₁B₁C₁的體積=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×{B}_{1}{A}_{1}×{B}_{1}{C}_{1}×\frac{1}{2}B{B}_{1}$=$\frac{1}{12}$V．

點(diǎn)評(píng) 本題考查線面角，異面直線A₁M與B₁C所成的角，三棱錐M-A₁B₁C₁的體積，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．