Question

5．已知x，y滿足$\left\{\begin{array}{l}{x-y+2≥0}\\{x+y-4≥0}\\{2x-y-5≤0}\end{array}\right.$求：
（1）z=x²+y²-10y+25的最小值和最大值；
（2）z=$\frac{y+1}{x+1}$的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）作出可行域，z=x²+y²-10y+25=x²+（y-5）²表示區(qū)域內(nèi)的點到D（0，5）的距離平方，數(shù)形結(jié)合可得；
（2）z=$\frac{y+1}{x+1}$表示區(qū)域內(nèi)的點與E（-1，-1）連線的斜率，數(shù)形結(jié)合可得．

解答 解：（1）作出$\left\{\begin{array}{l}{x-y+2≥0}\\{x+y-4≥0}\\{2x-y-5≤0}\end{array}\right.$所對應(yīng)的可行域（如圖陰影△ABC），
z=x²+y²-10y+25=x²+（y-5）²表示區(qū)域內(nèi)的點到D（0，5）的距離平方，
數(shù)形結(jié)合可得D到直線x-y+2=0的距離d=$\frac{|0-5+2|}{\sqrt{{1}^{2}+（-1）^{2}}}$=$\frac{3}{\sqrt{2}}$，
∴z的最小值為（$\frac{3}{\sqrt{2}}$）²=$\frac{9}{2}$，
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{x-y+2=0}\\{2x-y-5=0}\end{array}\right.$可解得C（7，9），
由兩點間的距離公式可得DC=$\sqrt{{7}^{2}+（9-5）^{2}}$=$\sqrt{65}$，
∴z的最大值為（$\sqrt{65}$）²=65；
（2）z=$\frac{y+1}{x+1}$表示區(qū)域內(nèi)的點與E（-1，-1）連線的斜率，
數(shù)形結(jié)合可得當(dāng)直線經(jīng)過點B（3，1）時z取最小值$\frac{1}{2}$，
當(dāng)直線經(jīng)過點A（1，3）時z取最大值2．
∴z=$\frac{y+1}{x+1}$的取值范圍為[$\frac{1}{2}$，1]

點評 本題考查簡單線性規(guī)劃，準(zhǔn)確作圖是解決問題的關(guān)鍵，屬中檔題．