Question

【題目】一吊燈下沿圓環(huán)直徑為米，通過拉鏈、、、（、、是圓上三等份點）懸掛在處，圓環(huán)呈水平狀態(tài)并距天花板2米，如圖所示.

（1）為使拉鏈總長最短，應多長？

（2）為美觀與安全，在圓環(huán)上設置，，……，（）各等分點，仍按上面方法連接．若還要求拉鏈總長度最短，對比（1）時C點位置，此時C點將會上移還是會下移?請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）點的位置將下移.

【解析】

試題分析：（1）設離天花板米（），拉鏈總長度為米,利用所給圖,得到,其導,利用導數求出取何值時,最�。�（2）當在圓環(huán)上設置個點時,拉鏈的總長為,同樣利用導數求出取何值時,最小.并與（1）中值比較,可知點的位置移動情況.

試題解析：

（1）設離天花板米（），拉鏈總長度為米，由題意、、、四點構成一個正三棱錐，、、為該三棱錐的三條棱側，三棱錐的高

.于是有，對其求導，得.

當時，，解得時，，

時，，時，即米時，取最小值米.

（2）由（1）可知，當在圓環(huán)上設置個點時，拉鏈的總長為：，求導得，當時，.解之得，因為只有一個極值，所以時，拉鏈長最短.下面比較與的大小（其中），即，亦即得，所以點的位置將下移.