Question

已知拋物線C：x²=4y與點M（

3

2

，-1），過C的焦點且斜率為k的直線與C交于A，B兩點，若

MA

•

MB

=0，則直線AB與拋物線C圍成的面積為

 

．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的關(guān)系,定積分

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：由拋物線C：x²=4y焦點為（0，1），由拋物線的方程聯(lián)立可得根與系數(shù)的關(guān)系，再利用

MA

•

MB

=0，求出直線的斜率，利用積分的幾何意義即可求出區(qū)域面積．

解答： 解：由拋物線C：x²=4y得焦點（0，1），
由題意可知：斜率k存在，設(shè)直線AB為y=kx+1，
聯(lián)立

x2=4y y=kx+1

，得到x²-4kx-4=0，△＞0，
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
∴x₁+x₂=4k，x₁x₂=-4．
又

MA

=(x1-

3

2

，y1+1)，

MB

=(x2-

3

2

，y2+1)，
∴

MA

•

MB

=(x1-

3

2

，y1+1)?(x2-

3

2

，y2+1)=（k²+1）x₁x₂+（2k-

3

2

）（x₁+x₂）+

25

4

=-4（k²+1）+4k（2k-

3

2

）+

25

4

=0，
整理得（4k-3）²=0，
解得k=

3

4

．
∴直線方程為y=

3

4

x+1．
∴x₁+x₂=4k=3，x₁x₂=-4．
解得x₁，=-1，x₂=4．
∴直線AB與拋物線C圍成的面積為

∫

4 -1

(

3

4

x+

x2

4

)dx=(

3

8

x2+

1

12

x3)

|

4 -1

=

125

24

．
故答案為：

125

24

．

點評：本題綜合考查了拋物線的性質(zhì)、直線與拋物線相交轉(zhuǎn)化為方程聯(lián)立得到根與系數(shù)的關(guān)系、向量的數(shù)量積運(yùn)算等基礎(chǔ)知識，考查利用積分求區(qū)域面積，涉及的知識點較多，綜合性較強(qiáng)，運(yùn)算量較大．