Question

已知（

x

+

1

2• 4 x

）ⁿ的展開式前三項中的x的系數(shù)成等差數(shù)列．
（1）展開式中所有的x的有理項為第幾項？
（2）求展開式中系數(shù)最大的項．

Answer 1

考點：二項式定理的應用

專題：綜合題,二項式定理

分析：（1）根據(jù)展開式前三項中的x的系數(shù)成等差數(shù)列，可得2•

n

2

=1+

n(n-1)

8

，求出n，寫出展開式的通項公式，根據(jù)x的指數(shù)為整數(shù)，即可得出結論；
（2）設第r+1項為系數(shù)最大的項，則由

tr+1

tr

≥1且

tr+2

tr+1

≤1，可得

9-r 2r ≥1 2(r+1) 8-r ≤1

，求出r，即可求展開式中系數(shù)最大的項．

解答： 解：（1）因為展開式前三項中的x的系數(shù)成等差數(shù)列，
所以2•

n

2

=1+

n(n-1)

8

，
所以n=8或n=1（舍去），
n=8時，展開式的通項公式為T_r+1=

C

r 8

•2-r•x4-

3

4

r，
由題意，4-

3

4

r必為整數(shù)，從而可知r必為4的倍數(shù)，
∴r=0，4，8，
∴展開式中所有的x的有理項為第1，5，9項；
（2）設第r+1項為系數(shù)最大的項，則由

tr+1

tr

≥1且

tr+2

tr+1

≤1，可得

9-r 2r ≥1 2(r+1) 8-r ≤1

，
∴2≤r≤3，
∴r=2或r=3，
∴系數(shù)最大的項為7x

5

2

和7x

7

4

．

點評：本題主要考查二項式定理的應用，二項展開式的通項公式，求展開式中某項的系數(shù)，屬于中檔題．