Question

（2011•樂山一模）已知函數(shù)f（x）滿足f（1）=1，對于任意的實數(shù)x，y都滿足f（x+y）=f（x）+f（y）+2（x+y）+1，若x∈N*，則函數(shù)f（x）的解析式為（　�。�

A．f（x）=4x²-4x+1

B．f（x）=4x²+1

C．f（x）=x²-5x-5

D．f（x）=x²+3x-3

Answer 1

分析：先根據(jù)賦值法結(jié)合已知條件得到f（x+1）-f（x）=2x+4；再結(jié)合疊加法即可求出結(jié)論．

解答：解：由題意得：在f（x+y）=f（x）+f（y）+2（x+y）+1中令y=1，
則有f（x+1）=f（x）+f（1）+2（x+1）+1=f（x）+2x+4；
則f（x+1）-f（x）=2x+4；
所以：f（2）-f（1）=2×1+4；
f（3）-f（2）=2×2+4；
…
f（x）-f（x-1）=2（x-1）+4．
∴上面各式相加得：f（x）-f（1）
=2×1+2×2+…+2×（x-1）+4（x-1）
=2×

(x-1)[1+(x-1)]

2

+4（x-1）
=x²+3x-4；
∴f（x）=f（1）+x²+3x-4=x²+3x-3．
故選：D．

點評：本題主要考察抽象函數(shù)及其應(yīng)用以及疊加法求通項的應(yīng)用．解決本題的關(guān)鍵在于根據(jù)賦值法結(jié)合已知條件得到f（x+1）-f（x）=2x+4．