Question

在等比數(shù)列{a_n}中，己知a₁=2，a₄=16．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）若a₃，a₅分別為等差數(shù)列{b_n}的第3項(xiàng)和第5項(xiàng)，試求數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式及數(shù)列{a_nb_n}前n項(xiàng)和S_n．

Answer 1

考點(diǎn)：等比數(shù)列的性質(zhì),數(shù)列的求和

專(zhuān)題：計(jì)算題,等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）根據(jù)等比數(shù)列{a_n}中，a₁=2，a₄=16，求出公比，即可求出數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）利用a₃，a₅分別為等差數(shù)列{b_n}的第3項(xiàng)和第5項(xiàng)，求出數(shù)列{b_n}的首項(xiàng)與公差，即可確定通項(xiàng)公式，利用錯(cuò)位相減法，可求數(shù)列{a_nb_n}前n項(xiàng)和S_n．

解答： 解：（1）∵等比數(shù)列{a_n}中，a₁=2，a₄=16，
∴q=2，
∴a_n=2•2^n-1=2ⁿ；
（2）∵a₃，a₅分別為等差數(shù)列{b_n}的第3項(xiàng)和第5項(xiàng)，
∴

b1+2d=8 b1+4d=32

，
∴

b1=-16 d=12

，
∴b_n=-16+12（n-1）=12n-28，
∴a_nb_n=（12n-28）•2ⁿ，
∴S_n=-16•2+（-4）•2²+…+（12n-28）•2ⁿ，
∴2S_n=-16•2²+…+（12n-40）•2ⁿ+（12n-28）•2ⁿ⁺¹，
兩式相減可得-S_n=-16•2+12•2²+…+12•2ⁿ-（12n-28）•2ⁿ⁺¹=12•

2(1-2n)

1-2

-56-（12n-28）•2ⁿ⁺¹，
∴S_n=（3n-10）•2ⁿ⁺³-80．

點(diǎn)評(píng)：本題考查等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項(xiàng)，考查數(shù)列的求和，考查錯(cuò)位相減法，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．