Question

已知在正三棱錐P-ABC中，側(cè)棱與底面邊長相等，D，E，F(xiàn)分別是AB，BC，CA的中點，有下列四個結(jié)論：
①BC∥平面PDF；
②DF⊥平面PAE；
③平面PDF⊥平面ABC；
④平面PAE⊥平面ABC，
其中正確的結(jié)論有

 

．

Answer 1

考點：命題的真假判斷與應用

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：利用正三棱錐的性質(zhì)、三角形的中位線定理、線面面面平行于垂直的判定定理即可得出．

解答： 解：如圖所示，
①在△ABC中，∵D、F分別是AB、AC的中點，
∴DF∥BC，
又BC?平面PDF，DF?平面PDF，
∴BC∥平面PDF；
因此正確．
②由正三棱錐P-ABC，∴AB=AC，AB=AC．
∵E是BC的中點，
∴BC⊥AE，BC⊥PE．
又PE∩AE=E，∴BC⊥平面PAE．
又∵DE∥BC，
∴DF⊥平面PAE；
因此正確．
③設點O是底面ABC的中心，則PO⊥底面ABC，而PO?平面PFD，
∴平面PDF與平面ABC不垂直，因此③不正確；
④由②可知：BC⊥平面PAE，BC?平面ABC．
∴平面PAE⊥平面ABC，
因此正確．
綜上可知：只有①②④正確．
故答案為：①②④．

點評：本題綜合考查了正三棱錐的性質(zhì)、三角形的中位線定理、線面面面平行于垂直的判定定理等基礎知識與基本技能方法，屬于中檔題．