Question

13．在直角坐標系xOy中，若角α的始邊為x軸的非負半軸，終邊為射線l：y=2$\sqrt{2}$x（x≥0）．
（1）求sin（2α+$\frac{π}{6}$）的值；
（2）若點P，Q分別是角α始邊、終邊上的動點，且PQ=4，求△POQ面積最大時，點P，Q的坐標．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)角α的始邊為x軸的非負半軸，終邊為射線l，利用任意角的三角函數(shù)定義求出sinα與cosα的值，進而確定出sin2α與cos2α的值，原式利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式化簡，將各自的值代入計算即可求出值；
（2）根據(jù)題意設(shè)出P與Q坐標，進而表示出PQ²，把PQ=4代入并利用基本不等式求出ab的最大值，確定出面積的最大值，進而求出此時P與Q的坐標即可．

解答 解：（1）由射線l的方程為y=2$\sqrt{2}$x（x≥0），可得sinα=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$，cosα=$\frac{1}{3}$，
∴sin2α=2sinαcosα=$\frac{4\sqrt{2}}{9}$，cos2α=cos²α-sin²α=-$\frac{7}{9}$，
則sin（2α+$\frac{π}{6}$）=sin2αcos$\frac{π}{6}$+cos2αsin$\frac{π}{6}$=$\frac{2\sqrt{6}}{9}$-$\frac{7}{18}$；
（2）設(shè)P（a，0），Q（b，2$\sqrt{2}$b）（a＞0，b＞0），
在△POQ中，PQ=4，即PQ²=（a-b）²+8b²=16，
整理得：16=a²+9b²-2ab≥6ab-2ab=4ab，即ab≤4，
∴S_△POQ=$\sqrt{2}$ab≤4$\sqrt{2}$，當且僅當a=3b，即a=2$\sqrt{3}$，b=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$取得等號，
則△POQ面積最大時，點P，Q的坐標分別為P（2$\sqrt{3}$，0），Q（$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，$\frac{4\sqrt{6}}{3}$）．

點評 此題考查了兩角和與差的正弦函數(shù)公式，二倍角的正弦、余弦函數(shù)公式，以及基本不等式的運用，熟練掌握公式是解本題的關(guān)鍵．