Question

18．F是雙曲線Γ：x²-$\frac{{y}^{2}}{4}$=1的右焦點，Γ的右支上一點P到一條漸近線的距離為2，在另一條漸近線上有一點Q滿足$\overrightarrow{FP}$=λ$\overrightarrow{PQ}$，則λ=4．

Answer 1

分析 設(shè)P（m，n），m＞0，代入雙曲線方程，再由點到直線的距離公式，解方程可得P的坐標(biāo)，再設(shè)Q的坐標(biāo)，由三點共線斜率相等，可得Q的坐標(biāo)，再由向量共線的坐標(biāo)表示，計算即可得到所求．

解答 解：設(shè)P（m，n），m＞0，
則m²-$\frac{{n}^{2}}{4}$=1，
雙曲線的漸近線方程為y=±2x，
設(shè)P到直線y=2x的距離為2，
即有$\frac{|2m-n|}{\sqrt{5}}$=2，
由于P在直線的下方，
則2m-n=2$\sqrt{5}$，
解得m=$\frac{3\sqrt{5}}{5}$，n=-$\frac{4\sqrt{5}}{5}$，
即P（$\frac{3\sqrt{5}}{5}$，-$\frac{4\sqrt{5}}{5}$），
設(shè)Q（s，-2s），由F（$\sqrt{5}$，0），
由于F，P，Q共線，可得
則k_FP=k_FQ，
即為$\frac{\frac{4\sqrt{5}}{5}}{\frac{2\sqrt{5}}{5}}$=$\frac{2s}{\sqrt{5}-s}$，
解得s=$\frac{\sqrt{5}}{2}$，
即有Q（$\frac{\sqrt{5}}{2}$，-$\sqrt{5}$），
$\overrightarrow{FP}$=（-$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，-$\frac{4\sqrt{5}}{5}$），$\overrightarrow{PQ}$=（-$\frac{\sqrt{5}}{10}$，-$\frac{\sqrt{5}}{5}$），
由于$\overrightarrow{FP}$=λ$\overrightarrow{PQ}$，
則λ=4．
故答案為：4．

點評 本題考查雙曲線的方程和性質(zhì)，主要考查雙曲線的漸近線方程的運用，同時考查向量共線的坐標(biāo)表示，考查運算能力，屬于中檔題．