Question

8．如圖1，直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠ABC=90°，CD=2AB=4，BC=2．AE∥BC交CD于點E，點G，H分別在線段DA，DE上，且GH∥AE．將圖1中的△AED沿AE翻折，使平面ADE⊥平面ABCE（如圖2所示），連結(jié)BD、CD，AC、BE．

（Ⅰ）求證：平面DAC⊥平面DEB；
（Ⅱ）當(dāng)三棱錐B-GHE的體積最大時，求直線BG與平面BCD所成角的正弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據(jù)折疊前后的邊角關(guān)系可知道DE⊥底面ABCE，底面ABCE為正方形，從而得到AC⊥DE，AC⊥BE，根據(jù)線面垂直的判定定理即可得到AC⊥DBE，再根據(jù)面面垂直的判定定理得出平面DAC⊥平面DEB；
（Ⅱ）根據(jù)已知條件知道三直線EA，EC，ED兩兩垂直，從而分別以這三直線為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，求出一些點的坐標(biāo)，設(shè)EH=x，從而表示出HG=2-x，三棱錐B-GHE的高為AB=2，從而可表示出三棱錐B-GHE的體積V=$\frac{1}{3}[-（x-1）^{2}+1]$，從而看出x=1時V最大，這時G為AD中點．從而可求G點坐標(biāo)，求出向量$\overrightarrow{BG}$坐標(biāo)，可設(shè)平面BCD的法向量為$\overrightarrow{n}$={x，y，z}，根據(jù)$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{BC}=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{DC}=0}\end{array}\right.$即可求出$\overrightarrow{n}$，設(shè)直線BG與平面BCD所成角為θ，而根據(jù)sinθ=$|cos＜\overrightarrow{n}，\overrightarrow{BG}＞|$求出sinθ．

解答 解：（Ⅰ）證明：∵AB∥CD，∠ABC=90°，CD=2AB=4；
又AE∥BC交CD于點E；
∴四邊形ABCE是邊長為2的正方形；
∴AC⊥BE，DE⊥AE；
又∵平面ADE⊥平面ABCE，平面ADE∩平面ABCE=AE；
∴DE⊥平面ABCE；
∵AC?平面ABCE，∴AC⊥DE；
又DE∩BE=E；
∴AC⊥平面DBE；
∵AC?平面DAC；
∴平面DAC⊥平面DEB；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知DE⊥平面ABCE，AE⊥EC；
以E為原點，$\overrightarrow{EA}\;，\;\overrightarrow{EC}\;，\;\overrightarrow{ED}$的方向為x軸，y軸，z軸的正方向建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，則：
A（2，0，0），B（2，2，0），C（0，2，0），D（0，0，2）；
設(shè)EH=x，則GH=DH=2-x（0＜x＜2）；
∵AB∥CE，∴AB⊥面DAE；
∴${V_{B-GHE}}=\frac{1}{3}{S_{△GHE}}•AB=\frac{1}{3}[\frac{1}{2}x（2-x）]×2$=$\frac{1}{3}（-{x^2}+2x）=\frac{1}{3}[-{（x-1）^2}+1]$；
∵0＜x＜2，∴x=1時，三棱錐B-GHE體積最大，此時，H為ED中點；
∵GH∥AE，∴G也是AD的中點，∴G（1，0，1），$\overrightarrow{BG}=（-1\;，\;-2\;，\;1）$；
設(shè)$\overrightarrow n=（x\;，\;y\;，\;z）$是面BCD的法向量；
則$\left\{\begin{array}{l}\overrightarrow n•\overrightarrow{BC}=（x\;，\;y\;，\;z）•（-2\;，\;0\;，\;0）=-2x=0\\ \overrightarrow n•\overrightarrow{DC}=（x\;，\;y\;，\;z）•（0\;，\;2\;，\;-2）=2y-2z=0\end{array}\right.$
令y=1，得$\overrightarrow n=（0\;，\;1\;，\;1）$；
設(shè)BG與面BCD所成角為θ；
則$sinθ=|cos＜\overrightarrow{BG}，\overrightarrow{n}＞|=\frac{|\overrightarrow{BG}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{BG}||\overrightarrow{n}|}=\frac{1}{\sqrt{6}•\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{3}}{6}$；
∴BG與平面BCD所成角的正弦值為$\frac{{\sqrt{3}}}{6}$．

點評 考查對折疊前后圖形的觀察能力，面面垂直的性質(zhì)定理，線面垂直的性質(zhì)，線面垂直的判定定理，以及建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量解決線面角問題的方法，棱錐的體積公式，兩非零向量垂直的充要條件，平面法向量的概念及求法，直線和平面所成角的概念，直線和平面所成角與直線和平面法向量夾角的關(guān)系，向量夾角余弦的坐標(biāo)公式．