Question

已知向量

a

=（1，m），

b

=（cosx，sinx），函數(shù)f（x）=

a

•

b

-2．
（1）設(shè)m=1，x為某三角形的內(nèi)角，求f（x）=-1時(shí)x的值；
（2）設(shè)m=

3

，當(dāng)函數(shù)f（x）取最大值時(shí)，求cos2x的值．

Answer 1

考點(diǎn)：平面向量數(shù)量積的運(yùn)算,三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）利用兩個(gè)向量的數(shù)量積公式求得當(dāng)m=1時(shí)，f（x）的解析式，再由f（x）=-1時(shí)，求得sin（x+

π

4

）=

2

2

，結(jié)合x為三角形的內(nèi)角，求得x的值．
（2）當(dāng)m=

3

時(shí)，f（x）=2sin（x+

π

6

）-2，根據(jù)函數(shù)f（x）取得最大值為0，可得此時(shí)x+

π

6

=2kπ+

π

2

，k∈z，求得x的值，從而求得cos2x的值．

解答： 解：（1）由題可知，函數(shù)f（x）=

a

•

b

-2=msinx+cosx-2，
當(dāng)m=1時(shí)，f（x）=sinx+cosx-2=

2

sin（x+

π

4

）-2，
∴當(dāng)f（x）=-1時(shí)，sin（x+

π

4

）=

2

2

，
∵x為三角形的內(nèi)角，
∴x+

π

4

=

3π

4

，
∴x=

π

2

．
（2）當(dāng)m=

3

時(shí)，f（x）=

3

sinx+cosx-2=2sin（x+

π

6

）-2，
當(dāng)且僅當(dāng) sin（x+

π

6

）=1時(shí)，函數(shù)f（x）取得最大值為0．
此時(shí)，x+

π

6

=2kπ+

π

2

，k∈z，
∴x=2kπ+

π

3

，k∈z，
cos2x=cos[2（2kπ+

π

3

）]=cos

2π

3

=-

1

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查兩個(gè)向量的數(shù)量積公式，三角函數(shù)的恒等變換，正弦函數(shù)的定義域和值域，屬于中檔題．