Question

已知函數f_n（x）=

x2-2x-a

enx

，其中n∈N^*，a∈R，e是自然對數的底數．
（1）求函數g（x）=f₁（x）-f₂（x）的零點；
（2）若對任意n∈N^*，f_n（x）均有兩個極值點，一個在區(qū)間（1，4）內，另一個在區(qū)間[1，4]外，求a的取值范圍；
（3）已知k，m∈N^*，k＜m，且函數f_k（x）在R上是單調函數，探究函數f_m（x）的單調性．

Answer 1

考點：導數在最大值、最小值問題中的應用,利用導數研究函數的單調性

專題：綜合題,導數的綜合應用

分析：（1）表示出g（x）=f₁（x）-f₂（x）=

(x2-2x-a)(ex-1)

e2x

，e^x-1有一零點0，只需討論x²-2x-a的零點情況，△=4+4a，分△＜0，△=0，△＞0三種情況進行討論可得‘
（2）fn′(x)=

(2x-2)enx-n(x2-2x-a)enx

e2nx

=

-nx2+2(n+1)x+an-2

enx

，令g_n（x）=-nx²+2（n+1）x+an-2，則問題等價于對任意n∈N^*，g_n（x）=0有兩個不等實數根x₁，x₂，且x₁∈（1，4），x₂∉[1，4]，進而由零點判定定理得對任意n∈N^*，g_n（1）g_n（4）＜0，化為恒成立可求；
（3）可知函數f_k（x）在R上是單調減函數，從而f′_k（x）＜0，則△k=4(k+1)2+4k(ka-2)=4（k²a+k²+1）≤0，由此推導f′_m（x）的符號可得結論；

解答： 解：（1）g（x）=f₁（x）-f₂（x）=

x2-2x-a

ex

-

x2-2x-a

e2x

=

(x2-2x-a)(ex-1)

e2x

，
△=4+4a，
①當a＜-1時，△＜0，函數g（x）有1個零點：x₁=0；
②當a=-1時，△=0，函數g（x）有2個零點：x₁=0，x₂=1，；
③當a=0時，△＞0，函數g（x）有兩個零點：x₁=0，x₂=2；
④當a＞-1，a≠0時，△＞0函數g（x）有三個零點：x₁=0，x₂=1-

a+1

，x3=1+

a+1

；
（2）fn′(x)=

(2x-2)enx-n(x2-2x-a)enx

e2nx

=

-nx2+2(n+1)x+an-2

enx

，
設g_n（x）=-nx²+2（n+1）x+an-2，g_n（x）的圖象是開口向下的拋物線．
由題意對任意n∈N^*，g_n（x）=0有兩個不等實數根x₁，x₂，且x₁∈（1，4），x₂∉[1，4]，
則對任意n∈N^*，g_n（1）g_n（4）＜0，即n（a+1）•n•[a-（8-

6

n

）]＜0，
又任意n∈N^*，8-

6

n

關于n遞增，8-

6

n

＞-1，
故-1＜a＜（8-

6

n

）_min，-1＜a＜8-6=2，
∴a的取值范圍是（-1，2）．
（3）由（2）知，存在x∈R，fk′(x)=

-kx2+2(k+1)x+ak-2

ekx

＜0，
又函數f_k（x）在R上是單調函數，故函數f_k（x）在R上是單調減函數，
從而△k=4(k+1)2+4k(ka-2)=4（k²a+k²+1）≤0，即a≤-(1+

1

k2

)，
∴△m=4(m2+1+m2a)≤4[m2+1-m2(1+

1

k2

)]=

4(k2-m2)

k2

，
由k，m∈N^*，k＜m，知△_m＜0，即對任意x∈R，f′m(x)=

-mx2+2(m+1)x+am-2

emx

＜0，
故函數f_m（x）在R上是減函數．

點評：本題考查利用導數研究函數的零點、極值點、單調性等知識，考查學生綜合運用知識分析解決問題的能力，本題綜合性較強，能力要求較高．