Question

已知過拋物線x²=2py（p＞0）的焦點，斜率為

3

4

的直線交拋物線于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）（x₁＜x₂）兩點，且|AB|=12.5．
（1）求該拋物線的方程；
（2）若O為坐標(biāo)原點，C為拋物線上的一點，且

AC

與

OB

共線，求出C點坐標(biāo)．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（1）由已知條件設(shè)直線方程y=

3

4

x+

p

2

，聯(lián)立

y= 3 4 x+ p 2 x2=2py

，得x²-

3

2

px-p²=0，再由橢圓弦長公式能求出該拋物線的方程為x²=8y．
（2）聯(lián)立

y= 3 4 x+2 x2=8y

，得x²-6x-16=0，由已知條件求出A（-2，

1

2

），B（8，8），設(shè)C（2

2y

，y），由向量共線的條件能求出C點坐標(biāo)．

解答： 解：（1）∵過拋物線x²=2py（p＞0）的焦點，
斜率為

3

4

的直線交拋物線于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）（x₁＜x₂）兩點，
∴設(shè)直線方程y=

3

4

x+

p

2

，
聯(lián)立

y= 3 4 x+ p 2 x2=2py

，得x²-

3

2

px-p²=0，
∴x₁+x₂=

3

2

p，x₁x₂=-p²，
∵|AB|=12.5，∴

(1+ 9 16 )[( 3 2 p)2+4p2]

=12.5，解得p=4，
∴該拋物線的方程為x²=8y．
（2）聯(lián)立

y= 3 4 x+2 x2=8y

，得x²-6x-16=0，
解得

x=-2 y= 1 2

或

x=8 y=8

，
∵直線交拋物線于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）（x₁＜x₂）兩點，
∴A（-2，

1

2

），B（8，8），
設(shè)C（2

2y

，y），則

AC

=（2

2y

+2，y-

1

2

），

OB

=(8，8)，
∵

AC

與

OB

共線，
∴

2 2y +2

8

=

y- 1 2

8

，解得y=

25

2

，
∴C點坐標(biāo)為（10，

25

2

）．

點評：本題考查拋物線方程的求法，考查滿足條件的點的坐標(biāo)的求法，解題時要注意橢圓弦長公式的合理運用．