已知橢圓中心在原點，焦點在x軸上，長軸長等于12，離心率為
1
3
．
（Ⅰ）求橢圓的標準方程；
（Ⅱ）在橢圓上任取一點P，過P點做y軸垂線段PQ，Q為垂足，當P在橢圓上運動時，求線段PQ的中點M的軌跡方程．
考點：直線與圓錐曲線的綜合問題
專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程
分析：（Ⅰ）依題意，可求得橢圓的半長軸a=6，半焦距c=2，從而可求得半短軸b，于是可得橢圓的方程．
（Ⅱ）設線段PQ的中點為M（x，y），點P的坐標是（x0，y0），則
x0=2x
y0=y
，由點P在橢圓上，能求出線段PQ中點M的軌跡方程．
解答： 解：（Ⅰ）由題意知，2a=12，
c
a
=
1
3
，故a=6，c=2，
∴b2=a2-c2=32，
故所求橢圓的方程為：
x2
36
+
y2
32
=1．
（Ⅱ）設線段PQ的中點為M（x，y），
點P的坐標是（x0，y0），
那么：
x0=2x
y0=y
，
由點P在橢圓上，得
4x2
36
+
y2
32
=1，即
y2
32
+
x2
9
=1，
∴線段PQ中點M的軌跡方程是
y2
32
+
x2
9
=1．
點評：本題考查橢圓方程的求法和求線段PQ的中點M的軌跡方程．主要考查橢圓標準方程，簡單幾何性質(zhì)，直線與橢圓的位置關系等基礎知識．考查運算求解能力，推理論證能力；考查函數(shù)與方程思想，化歸與轉(zhuǎn)化思想．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

在區(qū)間[-2，3]上任取一個數(shù)a，則函數(shù)f（x）=x2-2ax+a+2有零點的概率為（　�。�
A、
1
3
B、
1
2
C、
3
5
D、
2
5

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

如圖，F(xiàn)1（-c，0），F(xiàn)2（c，0）分別是雙曲線C：
x2
a2
-
y2
b2
=1（a，b＞0）的左，右焦點，過點F2作x軸的垂線交雙曲線的上半部分于點P，過點F1作直線PF1的垂線交直線l：x=-
a2
c
于點Q．
（1）若點P的坐標為（4，6），求雙曲線C的方程及點P處的切線方程；
（2）證明：直線PQ與雙曲線C只有一個交點；
（3）若過l：x=-
a2
c
上任一點M作雙曲線C：
x2
a2
-
y2
b2
=1（a，b＞0）的兩條切線，切點分別為T1，T2，問：直線T1T2是否過定點，若過定點，請求出該定點；否則，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知F1、F2是橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的左、右焦點，且離心率e=
1
2
，若點P為橢圓C上的一個動點，且|PF1|•|PF2|的最大值為4．
（Ⅰ）求橢圓C的標準方程；
（Ⅱ）過右焦點F2作斜率為k的直線l與橢圓C交于M、N兩點，在x軸上是否存在點P（m，0），使得以PM、PN為鄰邊的平行四邊形是菱形？如果存在，求出m的取值范圍；如果不存在，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知向量
a
=（sinωx，2cosωx），
b
=（sinωx+
3
cosωx，cosωx）（ω＞0），函數(shù)f（x）=
a
•
b
-1，且函數(shù)y=f（x）圖象的兩相鄰對稱軸間的距離為
π
2
．
（I）求ω的值；
（Ⅱ）設△ABC的三邊a、b、c所對應的角分別A、B、C，若f（
π
6
+
C
2
）=
5
4
，且a=1，c=
2
，求△ABC的面積．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=cos2ωx-sin2ωx+2
3
cosωxsinωx（ω＞0），f（x）的兩條相鄰對稱軸間的距離大于等于
π
2
．
（Ⅰ）求ω的取值范圍；
（Ⅱ）在△ABC中，角A，B，C所對的邊依次為a，b，c，a=
3
，b+c=3，f（A）=1，當ω=1時，求△ABC的面積．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知過拋物線x2=2py（p＞0）的焦點，斜率為
3
4
的直線交拋物線于A（x1，y1），B（x2，y2）（x1＜x2）兩點，且|AB|=12.5．
（1）求該拋物線的方程；
（2）若O為坐標原點，C為拋物線上的一點，且
AC
與
OB
共線，求出C點坐標．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知f（x）=
2
3x+1
+sinx，則f（-5）+f（-4）+f（-3）+f（-2）+f（-1）+f（0）+f（1）+f（2）+f（3）+f（4）+f（5）=
 
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

如圖，△ABC中，∠A=60°，∠A的平分線交BC于D，若AB=4，且
AD
=
1
4
AC
+λ
AB
(λ∈R)，則AD的長為（　�。�
A、2
3
B、3
3
C、4
3
D、5
3

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