設(shè)中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，且離心率為
3
2
的橢圓交圓x2+y2-4x-2y+
5
2
=0于A、B兩點(diǎn)，若線段AB是圓的直徑．
（1）求線段AB的斜率；
（2）求橢圓的方程．
考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問題
專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題
分析：（1）由圓的方程求出|AB|=
10
，弦AB中點(diǎn)（2，1），利用點(diǎn)差法能求出線段AB的斜率．
（2）由已知條件求出AB的方程為：y=-
1
2
x+2，橢圓方程為x2+4y2-4b2=0，二者聯(lián)立得到x2-4x+8-2b2=0，利用橢圓的弦長(zhǎng)公式能求出橢圓的方程．
解答： 解：（1）∵圓x2+y2-4x-2y+
5
2
=0，
∴圓（x-2）2+（y-1）2=
5
2
，
∴直徑AB=2
5
2
=
10
，
∵橢圓中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，
∴設(shè)橢圓：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0），
又設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），弦AB中點(diǎn)（2，1）
∴x1+x2=4，y1+y2=2，
把A（x1，y1），B（x2，y2）分別代入橢圓：
x2
a2
+
y2
b2
=1，
得
x12
a2
+
y12
b2
=1
x22
a2
+
y22
b2
=1
，∴b2（x1+x2）（x1-x2）+a2（y1+y2）（y1-y2）=0，
∴4b2（x1-x2）+2a2（y1-y2）=0，
∴k=
y1-y2
x1-x2
=-
2b2
a2
，
∵離心率為
3
2
，∴
c
a
=
3
2
，
∴
c2
a2
=
a2-b2
a2
=1-
b2
a2
=
3
4
，∴
b2
a2
=
1
4
，
∴k=
y1-y2
x1-x2
=-
2b2
a2
=-2×
1
4
=-
1
2
．
（2）∵AB的中點(diǎn)是（2，1），斜率k=-
1
2
，
∴AB的方程為：y=-
1
2
x+2，
由（1）得a2=4b2，∴橢圓方程為x2+4y2-4b2=0，
將直線AB的方程y=-
1
2
x+2，代入橢圓方程x2+4y2-4b2=0，得：
x2-4x+8-2b2=0，
∴x1+x2=4，x1x2=8-2b2，
|AB|=
(1+
1
4
)[16-4(8-2b2)]
=
10
，
解得b2=3，∴a2=12，
故橢圓的方程為：
x2
12
+
y2
3
=1．
點(diǎn)評(píng)：本題考查直線的斜率的求法，考查橢圓方程的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意弦長(zhǎng)公式和點(diǎn)差法的合理運(yùn)用．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知全集U={-2，-1，0，1，2，3，4，5，6}，集合M={大于-1且小于4的整數(shù)}，則∁UM=（　�。�
A、∅
B、{-2，-1，5，6}
C、{0，1，2，3，4}
D、{-2，-1，4，5，6}

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0），經(jīng)過點(diǎn)P（
3
，
1
2
），離心率e=
3
2
．
（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程．
（2）過點(diǎn)Q（0，
1
2
）的直線與橢圓交于A、B兩點(diǎn)，與直線y=2交于點(diǎn)M（直線AB不經(jīng)過P點(diǎn)），記PA、PB、PM的斜率分別為k1、k2、k3，問：是否存在常數(shù)λ，使得
1
k1
+
1
k2
=
λ
k3
？若存在，求出λ的值：若不存在，請(qǐng)說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，F(xiàn)1（-c，0），F(xiàn)2（c，0）分別是雙曲線C：
x2
a2
-
y2
b2
=1（a，b＞0）的左，右焦點(diǎn)，過點(diǎn)F2作x軸的垂線交雙曲線的上半部分于點(diǎn)P，過點(diǎn)F1作直線PF1的垂線交直線l：x=-
a2
c
于點(diǎn)Q．
（1）若點(diǎn)P的坐標(biāo)為（4，6），求雙曲線C的方程及點(diǎn)P處的切線方程；
（2）證明：直線PQ與雙曲線C只有一個(gè)交點(diǎn)；
（3）若過l：x=-
a2
c
上任一點(diǎn)M作雙曲線C：
x2
a2
-
y2
b2
=1（a，b＞0）的兩條切線，切點(diǎn)分別為T1，T2，問：直線T1T2是否過定點(diǎn)，若過定點(diǎn)，請(qǐng)求出該定點(diǎn)；否則，請(qǐng)說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

節(jié)能燈的質(zhì)量通過其正常使用時(shí)間來衡量，使用時(shí)間越長(zhǎng)，表明治療越好．若使用時(shí)間小于4千小時(shí)的產(chǎn)品為不合格產(chǎn)品；使用時(shí)間在4千小時(shí)到6千小時(shí)（不含6千小時(shí)）的產(chǎn)品為合格品；使用時(shí)間大于或等于6千小時(shí)的產(chǎn)品為優(yōu)質(zhì)品．某節(jié)能燈生產(chǎn)廠家為了解同一類型號(hào)的某批次產(chǎn)品的質(zhì)量情況，隨機(jī)抽取了部分產(chǎn)品作為樣本，得到實(shí)驗(yàn)結(jié)果的頻率直方圖如圖所示．若上述實(shí)驗(yàn)結(jié)果中使用時(shí)間落入各組的頻率作為相應(yīng)的概率．
（1）若該批次有產(chǎn)品2000件，試估計(jì)該批次的不合格品，合格品，優(yōu)質(zhì)品分別有多少件？
（2）已知該節(jié)能燈生產(chǎn)廠家對(duì)使用時(shí)間小于6千小時(shí)的節(jié)能燈實(shí)習(xí)“三包”．通過多年統(tǒng)計(jì)可知：該型號(hào)節(jié)能燈每件產(chǎn)品的利潤(rùn)y（單位：元）與使用時(shí)間t（單位：千小時(shí)）的關(guān)系式為y=
-20，t＜4
20，4≤t＜6
40，t≥6
．現(xiàn)從大量的該型號(hào)節(jié)能燈中隨機(jī)抽取一件，其利潤(rùn)記為X（單位：元），求X≥20的概率．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知F1、F2是橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的左、右焦點(diǎn)，且離心率e=
1
2
，若點(diǎn)P為橢圓C上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且|PF1|•|PF2|的最大值為4．
（Ⅰ）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ）過右焦點(diǎn)F2作斜率為k的直線l與橢圓C交于M、N兩點(diǎn)，在x軸上是否存在點(diǎn)P（m，0），使得以PM、PN為鄰邊的平行四邊形是菱形？如果存在，求出m的取值范圍；如果不存在，請(qǐng)說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知向量
a
=（sinωx，2cosωx），
b
=（sinωx+
3
cosωx，cosωx）（ω＞0），函數(shù)f（x）=
a
•
b
-1，且函數(shù)y=f（x）圖象的兩相鄰對(duì)稱軸間的距離為
π
2
．
（I）求ω的值；
（Ⅱ）設(shè)△ABC的三邊a、b、c所對(duì)應(yīng)的角分別A、B、C，若f（
π
6
+
C
2
）=
5
4
，且a=1，c=
2
，求△ABC的面積．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知過拋物線x2=2py（p＞0）的焦點(diǎn)，斜率為
3
4
的直線交拋物線于A（x1，y1），B（x2，y2）（x1＜x2）兩點(diǎn)，且|AB|=12.5．
（1）求該拋物線的方程；
（2）若O為坐標(biāo)原點(diǎn)，C為拋物線上的一點(diǎn)，且
AC
與
OB
共線，求出C點(diǎn)坐標(biāo)．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

若實(shí)數(shù)x，y滿足
x+y-1≥0
x≤2
y≤3
，則z=y-x的最小值是
 
．

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