Question

設雙曲線與橢圓有共同的焦點,它們的交點中一個交點的縱坐標為4,求雙曲線的方程.

Answer 1

分析：雙曲線與橢圓有共同的焦點,可對雙曲線定位及求得c,由c²=a²+b²,因而再有一個條件即可求得方程,可求出交點,聯(lián)立方程組求a²,b²,或利用雙曲線的定義求a,

解法一：

橢圓的兩個焦點為F₁(0,-3)、F₂(0,3),雙曲線與橢圓的一個交點為A(,4).

設雙曲線的方程為(a＞0,b＞0),

由方程組

得

∴雙曲線的方程為

解法二：

F₁(0,-3)、F₂(0,3)、A(,4)的得出同解法一.

設雙曲線的方程為(a＞0,b＞0),則

2a=||AF₁|-|AF₂||

∴a=2,b²=c²-a²=3²-2²=5.

∴雙曲線的方程為

解法三：

設雙曲線的方程為                       ①

將A(,4)代入①,得λ₁=32,λ₂=0(舍去).

∴雙曲線的方程為

綠色通道：

本題給出了三種解法,前兩種為常規(guī)方法,第三種方法是抓住與橢圓有公共的焦點這個條件來設雙曲線方程.