Question

設(shè)P₁，P₂，…，P_j為集合P={1，2，3，…，i}的子集，其中i，j為正整數(shù)．記a_ij為滿(mǎn)足P₁∩P₂∩…∩P_j=∅的有序子集組（P₁，P₂，…，P_j）的個(gè)數(shù)．
（Ⅰ）求a₂₂的值；
（Ⅱ）求a_ij的表達(dá)式．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)題意可得在P的2元子集中，元素“1”的包含關(guān)系有3種情形：屬于P₁且不屬于P₂；屬于P₂且不屬于P₁和都不屬于P₁、P₂，同理元素“2”也有3種情形，利用分步計(jì)數(shù)原理即可得到a₂₂=3×3=9；
（2）類(lèi)似（1）的分析加以討論，考慮P={1，2，…，i}中的元素“1”的情形，共有Cj0+Cj1+Cj2+…+Cjj-1=2^j-1種情形，同理其它元素也都有2^j-1種情形，由此根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理可得a_ija_ij=（2^j-1）ⁱ．

解答：解：（1）由題意得P₁，P₂為集合P={1，2}的子集，
 因?yàn)?I>P₁∩P₂=∅，所以集合P={1，2}中的元素“1”共有如下3種情形：
 1∈P₁且1∉P₂；1∉P₁且1∈ P₂；1∉P₁且1∉P₂；
同理可得集合P={1，2}中的元素“2”也有3種情形，
根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理，可得a₂₂=3×3=9；                        …4分
（2）考慮P={1，2，…，i}中的元素“1”，有如下情形：
1不屬于P₁，P₂，…，P_j中的任何一個(gè)，共Cj0種；
1只屬于P₁，P₂，…，P_j中的某一個(gè)，共Cj1種；
1只屬于P₁，P₂，…，P_j中的某兩個(gè)，共Cj2種；
         …
1只屬于P₁，P₂，…，P_j中的某（j-1）個(gè)，共Cjj-1種，
根據(jù)分類(lèi)計(jì)數(shù)原理得，元素“1”共有Cj0+Cj1+Cj2+…+Cjj-1=2^j-1種情形，…8分
同理可得，集合P={1，2，…，i}中其它任一元素均有（2^j-1）種情形，
根據(jù)分步乘計(jì)數(shù)原理，得滿(mǎn)足條件有序子集組（P₁，P₂，…，P_j）的個(gè)數(shù)總共有（2^j-1）ⁱ個(gè)，
即a_ij=（2^j-1）ⁱ．            …10分

點(diǎn)評(píng)：本題著重考查了集合的定義與運(yùn)算、排列組合公式的應(yīng)用和分類(lèi)計(jì)數(shù)原理、分步計(jì)數(shù)原理等知識(shí)，屬于中檔題．