Question

已知定義在（0，+∞）上的函數f（x）滿足：對任意正實數a，b都有f（ab）=f（a）+f（b）-2，且當x＞1時恒有f（x）＜2，則下列結論正確的是（　�。�

• A、f（x）在（0，+∞）上是減函數
• B、f（x）在（0，+∞）上是增函數
• C、f（x）在（0，1）上是減函數，在（1，+∞）上是增函數
• D、f（x）在（0，1）上是增函數，在（1，+∞）上是減函數

Answer 1

考點：抽象函數及其應用

專題：函數的性質及應用

分析：運用函數的單調性的定義，設x₁＞x₂＞0，則

x1

x2

＞1，由條件2得，f（

x1

x2

）＜2，再由條件1即可得到f（x₁）-f（x₂）的差小于0，則可判斷結論．

解答： 解：設x₁＞x₂＞0，則

x1

x2

＞1，
∵當x＞1時恒有f（x）＜2，∴f（

x1

x2

）＜2，
∵任意正實數a，b都有f（ab）=f（a）+f（b）-2，
∴f（x₁）-f（x₂）=f（

x1

x2

•x₂）-f（x₂）=f（

x1

x2

）-2＜0，
即f（x₁）＜f（x₂）
∴f（x）在（0，+∞）上是減函數．
故選：A．

點評：本題考查抽象函數及運用，考查函數的單調性的定義，注意條件的運用和理解，屬于中檔題．