Question

【題目】2015年春，某地干旱少雨，農(nóng)作物受災(zāi)嚴(yán)重，為了使今后保證農(nóng)田灌溉，當(dāng)?shù)卣�府決定建一橫斷面為等腰梯形的水渠（水渠的橫斷面如圖所示），為減少水的流失量，必須減少水與渠壁的接觸面，若水渠橫斷面的面積設(shè)計(jì)為定值S，渠深為h，則水渠壁的傾斜角α（0＜α＜ ）為多大時(shí)，水渠中水的流失量最小？

Answer 1

【答案】解：作BE⊥DC于E，在Rt△BEC中，BC= ，CE=hcotα，又AB﹣CD=2CE=2hcotα，AB+CD= ，故CD= ﹣hcotα．

設(shè)y=AD+DC+BC，則y= ﹣hcotα+ = + （0＜α＜ ），

由于S與h是常量，欲使y最小，只需u= 取最小值，u可看作（0，2）與（﹣sinα，cosα）兩點(diǎn)連線的斜率，由于α∈（0， ），點(diǎn)（﹣sinα，cosα）在曲線x2+y2=1（﹣1＜x＜0，0＜y＜1）上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)過（0，2）的直線與曲線相切時(shí)，直線斜率最小，此時(shí)切點(diǎn)為（﹣ ， ），則有sinα= ，且cosα= ，那么α= ，

故當(dāng)α= 時(shí)，水渠中水的流失量最�。�

【解析】由題意可得作BE⊥DC于E，在Rt△BEC中，求得BC= ，CE=hcotα，又AB﹣CD=2CE=2hcotα，AB+CD= ，故CD= S h ﹣hcotα．
設(shè)y=AD+DC+BC則y= ﹣hcotα+ = + （0＜α＜ ）當(dāng)取最小值兩點(diǎn)連線的斜率，由于α∈（0， ），點(diǎn)（﹣sinα，cosα）在曲線x2+y2=1（﹣1＜x＜0，0＜y＜1）上運(yùn)動(dòng)當(dāng)過（0，2）的直線與曲線相切時(shí)，直線斜率最小，此時(shí)切點(diǎn)為（﹣ ， ），則有sinα= ，且cosα= ，那么α= ，故當(dāng)α= 時(shí)，水渠中水的流失量最小．
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解基本不等式在最值問題中的應(yīng)用的相關(guān)知識，掌握用基本不等式求最值時(shí)（積定和最小，和定積最大），要注意滿足三個(gè)條件“一正、二定、三相等”．