Question

設(shè)x₁與x₂分別是實(shí)系數(shù)方程ax²+bx+c=0和-ax²+bx+c=0的一個(gè)實(shí)數(shù)根，且x₁≠x₂，x₁≠0，x₂≠0，求證：方程

a

2

x2+bx+c=0有且僅有一個(gè)實(shí)數(shù)根介于x₁與x₂之間．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)的零點(diǎn)與方程根的關(guān)系

專題：證明題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：先由x₁與x₂分別是實(shí)系數(shù)方程ax²+bx+c=0和-ax²+bx+c=0的一個(gè)根，得到關(guān)于x₁與x₂的兩個(gè)等式，再設(shè)f（x）=

a

2

x²+bx+c，利用條件推出f（x₁）f（x₂）＜0，即可說(shuō)明方程

a

2

x²+bx+c=0有一個(gè)根介于x₁和x₂之間．

解答： 證明：設(shè)f（x）=

a

2

x2+bx+c，
∵

ax

2 1

+bx1+c=0，-

ax

2 2

+bx2+c=0，
∴

a

2

x

2 1

+bx1+c=-

a

2

x

2 1

，

a

2

x

2 2

+bx2+c=

3a

2

x

2 2

，
∴f(x1)f(x2)=(

a

2

x

2 1

+bx1+c)(

a

2

x

2 2

+bx2+c)=-

a

2

x

2 1

•

3a

2

x

2 2

=-

3a2

4

(x1x2)2．
∵x₁≠x₂，∴a≠0．又x₁≠0，x₂≠0，
∴-

3a2

4

(x1x2)2＜0，即f（x₁）f（x₂）＜0，
故方程f（x）=0在x₁與x₂之間有實(shí)數(shù)根．
若在x₁與x₂之間有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則必有f（x₁）f（x₂）＞0，矛盾，
故方程

a

2

x2+bx+c=0有且僅有一個(gè)實(shí)數(shù)根介于x₁與x₂之間．

點(diǎn)評(píng)：本題考查一元二次方程根的分布問(wèn)題．在解題過(guò)程中用到了零點(diǎn)存在性定理，若想說(shuō)函數(shù)在某個(gè)區(qū)間上有零點(diǎn)，只要區(qū)間兩端點(diǎn)值異號(hào)即可．