Question

已知遞增的等比數(shù)列{a_n}前三項(xiàng)之積為8，且這三項(xiàng)分別加上1、2、2后又成等差數(shù)列．
（1）求等比數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）若不等式a_n²+2ⁿa_n-k≥0對(duì)一切n∈N^*恒成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列與不等式的綜合,等比數(shù)列的前n項(xiàng)和

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）設(shè)出等比數(shù)列的前三項(xiàng)，結(jié)合題意列式求出首項(xiàng)和公比，則等比數(shù)列的通項(xiàng)公式可求；
（2）把不等式a_n²+2ⁿa_n-k≥0對(duì)一切n∈N^*恒成立分離參數(shù)k可得，k≤

a

2 n

+2n•an，代入{a_n}的通項(xiàng)公式后整理可得當(dāng)n=1時(shí)，

a

2 n

+2n•an的最小值為3，則k的取值范圍為可求．

解答： 解：（1）設(shè)等比數(shù)列前三項(xiàng)分別為a₁、a₂、a₃，
則a₁+1、a₂+2、a₃+2又成等差數(shù)列．
依題意得：

a1a2a3=8 2(a2+2)=(a1+1)+(a3+2)

，
即

a1•a1q•a1q2=8 2(a1q+2)=a1+1+a1•q2+2

，
解之得

a1=1 q=2

，或

a1=4 q= 1 2

（數(shù)列{a_n}為遞增等比數(shù)列，舍去）．
∴數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式：an=2n-1；
（2）不等式a_n²+2ⁿa_n-k≥0對(duì)一切n∈N^*恒成立，即k≤

a

2 n

+2n•an，
而

a

2 n

+2n•an=(2n-1)2+2n•2n-1=3×22n-2．
當(dāng)n=1時(shí)，

a

2 n

+2n•an的最小值為3，
∴不等式

a

2 n

+2n•an-k≥0對(duì)一切n∈N^*恒成立，則k≤3．
∴k的取值范圍為（-∞，3]．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，考查了數(shù)列的函數(shù)特性，訓(xùn)練了分離變量法求解參數(shù)的取值范圍問題，是中檔題．