Question

16．已知函數(shù)f（x）=lnx，g（x）=-$\frac{1}{x}$．
（1）判斷曲線y=f（x）與曲線y=g（x）（x＜0）的公共切線（與兩曲線均相切）的條數(shù)．
（2）若函數(shù)F（x）=af（x）-g（x）在區(qū)間[$\frac{1}{{e}^{2}}，e$]上有且只有兩個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍，e≈2.718．

Answer 1

分析 （1）設(shè)與曲線y=f（x）相切的切線的切點(diǎn)為（x₁，lnx₁），與曲線y=g（x）（x＜0）相切的切線的切點(diǎn)為（x₂，-$\frac{1}{{x}_{2}}$），
求出f（x），g（x）的導(dǎo)數(shù)，求得切線的方程，由公切線的含義，斜率相等且縱截距相等，可得方程，再由h（t）=2lnt-$\frac{2}{t}$-1，運(yùn)用導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性，由函數(shù)零點(diǎn)存在定理，判斷零點(diǎn)個(gè)數(shù)，即可得到公切線的條數(shù)；
（2）由題意可得-$\frac{1}{a}$=xlnx在區(qū)間[$\frac{1}{{e}^{2}}，e$]上有兩個(gè)不等的正根，求出xlnx的導(dǎo)數(shù)和單調(diào)區(qū)間，可得極小值也為最小值，進(jìn)而得到a的范圍．

解答 解：（1）設(shè)與曲線y=f（x）相切的切線的切點(diǎn)為（x₁，lnx₁），
與曲線y=g（x）（x＜0）相切的切線的切點(diǎn)為（x₂，-$\frac{1}{{x}_{2}}$），
f′（x）=$\frac{1}{x}$，g′（x）=$\frac{1}{{x}^{2}}$，
即有切線的方程為y-lnx₁=$\frac{1}{{x}_{1}}$（x-x₁），①
y+$\frac{1}{{x}_{2}}$=$\frac{1}{{{x}_{2}}^{2}}$（x-x₂），②
由公切線可得$\frac{1}{{x}_{1}}$=$\frac{1}{{{x}_{2}}^{2}}$，且lnx₁-1=-$\frac{2}{{x}_{2}}$，
可得2ln（-x₂）-$\frac{2}{-{x}_{2}}$-1=0，
可令t=-x²，（t＞0），h（t）=2lnt-$\frac{2}{t}$-1，
h′（t）=$\frac{2}{t}$+$\frac{2}{{t}^{2}}$＞0，可得h（t）遞增，
由h（2）=2ln2-2＜0，h（3）=2ln3-$\frac{5}{3}$＞0，可得h（t）僅有一個(gè)零點(diǎn)，
故公切線的條數(shù)為1；
（2）函數(shù)F（x）=af（x）-g（x）=alnx+$\frac{1}{x}$，
由題意可得-$\frac{1}{a}$=xlnx在區(qū)間[$\frac{1}{{e}^{2}}，e$]上有兩個(gè)不等的正根，
由m（x）=xlnx的導(dǎo)數(shù)為m′（x）=1+lnx，
當(dāng)x＞e^-1時(shí)，m′（x）＞0，m（x）遞增，當(dāng)0＜x＜e^-1時(shí)，m′（x）＜0，m（x）遞減，
即有x=e^-1處取得最小值，且為-e^-1，
即有-e^-1＜-$\frac{1}{a}$≤-$\frac{2}{{e}^{2}}$，解得e＜a≤$\frac{{e}^{2}}{2}$．
則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（e，$\frac{{e}^{2}}{2}$]．

點(diǎn)評(píng) 本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求切線的方程和單調(diào)區(qū)間、極值和最值，考查函數(shù)方程的轉(zhuǎn)化思想，注意運(yùn)用構(gòu)造函數(shù)，求出導(dǎo)數(shù)，運(yùn)用單調(diào)性解決，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．