Question

1．已知f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，x＞0時(shí)，f（x）=sin（2x+$\frac{π}{3}$）．
（1）求f（x）在R上的解析式；
（2）求f（x）在x∈[-π，0]上的值域．

Answer 1

分析 （1）利用奇函數(shù)的性質(zhì)即可得出；
（2）當(dāng)x=0時(shí)，f（0）=0．x∈[-π，0），可得$（2x-\frac{π}{3}）$∈$[-2π-\frac{π}{3}，-\frac{π}{3}）$．利用正弦函數(shù)的單調(diào)性即可得出f（x）=$sin（2x-\frac{π}{3}）$的值域．

解答 解：（1）設(shè)x＜0，則-x＞0，∵x＞0時(shí)，f（x）=sin（2x+$\frac{π}{3}$）．
∴f（-x）=sin（-2x+$\frac{π}{3}$）．
∵f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，
∴f（0）=0，
f（x）=-f（-x）=-sin（-2x+$\frac{π}{3}$）=sin（2x-$\frac{π}{3}$）．
綜上可得：f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{sin（2x+\frac{π}{3}），x＞0}\\{0，x=0}\\{sin（2x-\frac{π}{3}），x＜0}\end{array}\right.$．
（2）當(dāng)x=0時(shí)，f（0）=0．
x∈[-π，0），可得$（2x-\frac{π}{3}）$∈$[-2π-\frac{π}{3}，-\frac{π}{3}）$．
f（x）=$sin（2x-\frac{π}{3}）$∈[-1，1]．
∴f（x）在x∈[-π，0]上的值域是[-1，1]．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了正弦函數(shù)的單調(diào)性、奇函數(shù)的性質(zhì)，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．