Question

10．已知ab＞0，函數(shù)f（x）=x³-2ax²-bx在x=1處的切線斜率為1，則$\frac{1}{a}$+$\frac{1}$的取值范圍是（　�。�

• A． [$\frac{9}{2}$，+∞）
• B． （-∞，$\frac{9}{2}$]
• C． [$\frac{1}{2}$，+∞）
• D． （-∞，-$\frac{1}{2}$]

Answer 1

分析 求導(dǎo)并令導(dǎo)數(shù)f′（1）=3-4a-b=1，從而解得4a+b=2，從而求得$\frac{1}{a}$+$\frac{1}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{a}$+$\frac{1}$）（4a+b）=$\frac{1}{2}$（5+$\frac{a}$+$\frac{4a}$），利用基本不等式，即可求$\frac{1}{a}$+$\frac{1}$的取值范圍．

解答 解：由題意，f′（x）=3x²-4ax-b，則f′（1）=3-4a-b=1，
解得，4a+b=2，
則$\frac{1}{a}$+$\frac{1}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{a}$+$\frac{1}$）（4a+b）=$\frac{1}{2}$（5+$\frac{a}$+$\frac{4a}$）
∵ab＞0，∴$\frac{a}$＞，$\frac{4a}$＞0，
∴$\frac{a}$+$\frac{4a}$≥2$\sqrt{\frac{a}•\frac{4a}}$=4；
（當(dāng)且僅當(dāng)b=2a時(shí)，等號(hào)成立）
∴$\frac{1}{a}$+$\frac{1}$≥$\frac{9}{2}$，
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用及基本不等式的應(yīng)用，屬于中檔題．