已知函數(shù)

    （1）若有兩個不同的極值點(diǎn)，求a的取值范圍；

    （2）當(dāng)時，表示函數(shù)上的最大值，求的表達(dá)式；

    （3）求證：。

【考點(diǎn)分析】本小題主要考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值、不等式的證明等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)算能力以及分類討論的數(shù)學(xué)思想方法.

解：（1）（法一）

設(shè)，，當(dāng)時

若，由，易知在時恒成立，無極值點(diǎn).

若，設(shè)的兩根為且。

,,故有

0

-

0

+

∴當(dāng)時，函數(shù)有兩個極值點(diǎn)。…………4分

（法二）………1分

設(shè)，有兩個極值點(diǎn)有兩個大于的不等實根，

∴當(dāng)時，函數(shù)有兩個極值點(diǎn)。…………4分

（2）當(dāng)時，由（1）知，

在為減函數(shù)，在為增函數(shù)，

在上的的最大值為或

 ，設(shè)，

，，故，

.

（3）由（2）知在上有最大值，且僅在時取得.取，，則

即

法一：，，…，，.

相加得：

，

 ，

即：

法二：用數(shù)學(xué)歸納法證明：

當(dāng)時，易知成立，

假設(shè)當(dāng)時，不等式成立，即成立

時，

=

=

<

  （由歸納假設(shè)及，）

∴當(dāng)不等式也成立，故得證。

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù).

（1）若點(diǎn)()為函數(shù)與的圖象的公共點(diǎn)，試求實數(shù)的值；

（2）設(shè)是函數(shù)的圖象的一條對稱軸，求的值;

(3)求函數(shù)的值域。

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2014屆河南安陽一中高二第二次階段考試?yán)砜茢?shù)學(xué)試卷（解析版） 題型：解答題

（12分）已知函數(shù)

 （1）若當(dāng)的表達(dá)式；

（2）求實數(shù)上是單調(diào)函數(shù).

 

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2011年湖南省高三第一次學(xué)情摸底考試數(shù)學(xué)卷 題型：解答題

（本題滿分13 分）

    已知函數(shù)

   （1）若在的圖象上橫坐標(biāo)為的點(diǎn)處存在垂直于y 軸的切線，求a 的值；

   （2）若在區(qū)間（-2，3）內(nèi)有兩個不同的極值點(diǎn)，求a 取值范圍；

   （3）在（1）的條件下，是否存在實數(shù)m，使得函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象恰有三個交點(diǎn)，若存在，試出實數(shù)m 的值；若不存在，說明理由．

 

 

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2010-2011學(xué)年浙江省杭州市高三寒假作業(yè)數(shù)學(xué)卷一 題型：解答題

（15 分）

已知函數(shù)

（1）若在的圖象上橫坐標(biāo)為的點(diǎn)處存在垂直于y 軸的切線，求a 的值；

（2）若在區(qū)間（-2，3）內(nèi)有兩個不同的極值點(diǎn)，求a 取值范圍；

（3）在（1）的條件下，是否存在實數(shù)m，使得函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象恰有三個交點(diǎn)，若存在，試出實數(shù)m 的值；若不存在，說明理由．

 

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2014屆貴州省高一上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué) 題型：解答題

、(本小題滿分12分)已知函數(shù)

（1）若，求的零點(diǎn)；

（2）若函數(shù)在區(qū)間上有兩個不同的零點(diǎn)，求的取值范圍。

 

 

 

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