【題目】函數(shù)f(x)=﹣x2+(3﹣2m)x+2+m(0<m≤1).
(1)若x∈[0,m],證明:f(x)≤ ;
(2)求|f(x)|在[﹣1,1]上的最大值g(m).
【答案】
(1)證明:∵0<m≤1,∴f(x)的對稱軸x= ∈[ , ),
①0<m≤ 時(shí),函數(shù)f(x)=﹣x2+(3﹣2m)x+2+m開口向下,在[0,m)函數(shù)是增函數(shù),
∴f(x)≤f(m)=﹣m2+(3﹣2m)m+2+m=﹣3m2+4m+2=﹣3 ;
②當(dāng) 時(shí),f(x)max=f( )= = < .
綜上,f(x)≤ ;
(2)解:函數(shù)f(x)=﹣x2+(3﹣2m)x+2+m=﹣(x﹣ )2+ ,
若0 ,則0<2m≤1,f(x)的對稱軸x= ∈[1, ),
則f(x)在[﹣1,1]上為增函數(shù),
∵f(1)=4﹣m∈[ ),|f(﹣1)|=|3m﹣2|∈[ ,2).
∴|f(1)|>|f(﹣1)|,
∴|f(x)|在[﹣1,1]上的最大值g(m)=f(1)=4﹣m;
若 <m≤1,則1<2m≤2,f(x)的對稱軸x= ∈( ,1],
則f(x)在[﹣1,1]上先增后減,且最小值為f(﹣1)=3m﹣2,最大值為f( )=m2﹣2m+ .
∵|f(﹣1)|=|3m﹣2|∈[0,1],f( )=m2﹣2m+ = .
∴|f(x)|在[﹣1,1]上的最大值g(m)=f( )=m2﹣2m+ .
綜上,g(m)=
【解析】(1)求出二次函數(shù)的對稱軸方程,由m的范圍分類可得二次函數(shù)在[0,m]上的單調(diào)性,得到二次函數(shù)的最大值,由配方法證明f(x)≤ ;(2)分0 和 <m≤1兩種情況求出函數(shù)f(x)在[﹣1,1]上的最值,再由最值的絕對值的大小求得|f(x)|在[﹣1,1]上的最大值g(m).
【考點(diǎn)精析】利用二次函數(shù)的性質(zhì)對題目進(jìn)行判斷即可得到答案,需要熟知當(dāng)時(shí),拋物線開口向上,函數(shù)在上遞減,在上遞增;當(dāng)時(shí),拋物線開口向下,函數(shù)在上遞增,在上遞減.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在直三棱柱中,,且.
(1)求證:平面⊥平面;
(2)設(shè)是的中點(diǎn),判斷并證明在線段上是否存在點(diǎn),使‖平面;若存在,求三棱錐的體積.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】函數(shù)f(x)= 是定義在區(qū)間(﹣1,1)上的奇函數(shù),且f(2)= ,
(1)確定函數(shù)f(x)的解析式;
(2)用定義法證明f(x)在區(qū)間(﹣1,1)上是增函數(shù);
(3)解不等式f(t﹣1)+f(t)<0.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】【2017省息一中第七次適應(yīng)性考】已知函數(shù)(),且的導(dǎo)數(shù)為.
(Ⅰ)若是定義域內(nèi)的增函數(shù),求實(shí)數(shù)的取值范圍;
(Ⅱ)若方程有3個(gè)不同的實(shí)數(shù)根,求實(shí)數(shù)的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)集合A={x|ax2+bx+1=0}(a∈R,b∈R),集合B={﹣1,1}.
(1)若BA,求實(shí)數(shù)a的值;
(2)若A∩B≠,求a2﹣b2+2a的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】下列函數(shù)中,在區(qū)間(0,+∞)上單調(diào)遞增的是( )
A.y=
B.y=1﹣x
C.y=x2﹣x
D.y=1﹣x2
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知集合A={x|x2﹣3x<0},B={x|(x+2)(4﹣x)≥0},C={x|a<x≤a+1}.
(1)求A∩B;
(2)若B∪C=B,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】假設(shè)關(guān)于某設(shè)備使用年限x(年)和所支出的維修費(fèi)用y(萬元)有如下統(tǒng)計(jì)資料:
2 | 3 | 4 | 5 | 6 | |
y | 2.2 | 3.8 | 5.5 | 6.5 | 7.0 |
若由資料知,y對x呈線性相關(guān)關(guān)系,試求:
(Ⅰ)請畫出上表數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖;
(Ⅱ)請根據(jù)上表提供的數(shù)據(jù),求出y關(guān)于x的線性回歸方程=bx+;
(Ⅲ)估計(jì)使用年限為10年時(shí),維修費(fèi)用約是多少?
(參考數(shù)據(jù):2×2.2+3×3.8+4×5.5+5×6.5+6×7.0=112.3)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=ax2+bx+c(a,b,c∈R,a≠0),對任意的x∈R,都有f(x﹣4)=f(2﹣x)成立,
(1)求2a﹣b的值;
(2)函數(shù)f(x)取得最小值0,且對任意x∈R,不等式x≤f(x)≤( )2恒成立,求函數(shù)f(x)的解析式;
(3)若方程f(x)=x沒有實(shí)數(shù)根,判斷方程f(f(x))=x根的情況,并說明理由.
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