Question

已知：f（x）=2cos²x+2

3

sinxcosx+a
（1）若x∈R，求f（x）的最小正周期和增區(qū)間；
（2）若f（x）在[-

π

6

，

π

3

]上最大值與最小值之和為3，求a的值．

Answer 1

考點：二倍角的正弦,兩角和與差的正弦函數,二倍角的余弦,三角函數的周期性及其求法

專題：三角函數的圖像與性質

分析：（1）利用二倍角公式和兩角和公式對函數解析式化簡，利用周期公式求得函數的最小正周期，利用正弦函數的性質求得函數的單調增區(qū)間．
（2）根據x的范圍確定2x+

π

6

的范圍，進而確定sin（2x+

π

6

）的范圍，則函數的最大和最小值的表達式可得，最后相加即可求得a．

解答： 解：（1）f（x）=2cos²x+2

3

sinxcosx+a=1+cos2x+

3

sin2x+a=2sin（2x+

π

6

）+a+1，
∴T=

2π

2

=π，
由2kπ-

π

2

≤2x+

π

6

≤2kπ+

π

2

，得kπ-

π

3

x≤

π

6

+kπ，k∈Z，
∴函數f（x）的增區(qū)間為[kπ-

π

3

，kπ+

π

6

]（k∈Z）；
（2）∵x∈[-

π

6

，

π

3

]，
∴2x+

π

6

∈[-

π

6

，

5π

6

]
∴sin（2x+

π

6

）∈[-

1

2

，1]
∴f（x）_max=2+1+a，f（x）_min=-1+a+1=a，
∴3+a+a=3，a=0．

點評：本題主要考查了二倍角公式和兩角和公式的應用，三角函數圖象與性質．考查了學生基礎知識的掌握和一定的運算能力．