Question

5．已知函數(shù)f（x）=$\frac{lnx}{x}-{x}^{2}$+2ex-k有且只有一個零點，求k的值為e²$+\frac{1}{e}$．

Answer 1

分析 根據(jù)函數(shù)g（x）=$\frac{lnx}{x}-{x}^{2}$+2ex，得出g′（x）=$\frac{ln\frac{e}{x}}{{x}^{2}}$-2（x-e），利用導數(shù)判斷單調(diào)性求出極值，運用函數(shù)g（x）=$\frac{lnx}{x}-{x}^{2}$+2ex，y=k交點判斷即可．

解答 解：設g（x）=$\frac{lnx}{x}-{x}^{2}$+2ex，
則g′（x）=$\frac{ln\frac{e}{x}}{{x}^{2}}$-2（x-e），
當g′（x）＞0時，則0＜x＜e，
當g′（x）＜0時，則x＞e，
當g′（x）=0時，則x=e，
∴g（x）=$\frac{lnx}{x}-{x}^{2}$+2ex，在（0，e）單調(diào)遞增，在（e，+∞）單調(diào)遞減，
x=e時g（x）最大值為g（e）=e²$+\frac{1}{e}$
∵函數(shù)g（x）=$\frac{lnx}{x}-{x}^{2}$+2ex-k有且只有一個零點，
∴函數(shù)y=k與g（x）只有1個交點，
根據(jù)圖象可知：k=e²$+\frac{1}{e}$，
故答案為：e²$+\frac{1}{e}$．

點評 本題考查了函數(shù)的導數(shù)在求解函數(shù)最值，極值中的應用，函數(shù)零點轉(zhuǎn)化為函數(shù)交點問題求解，屬于中檔題．