Question

【題目】如圖，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=4，AC=BC=3，D為AB的中點

（1）求點C到平面A1ABB1的距離；
（2）若AB1⊥A1C，求二面角A1﹣CD﹣C1的平面角的余弦值．

Answer 1

【答案】
（1）解：由AC=BC，D為AB的中點，得CD⊥AB．又CD⊥AA1．

故CD⊥平面A1ABB1．

所以點C到平面A1ABB1的距離為CD= =

（2）解：[解法一]

如圖1，取D1為A1B1的中點，連接DD1，則DD1∥AA1∥CC1．

又由（1）知CD⊥平面A1ABB1．故CD⊥A1D，CD⊥D1D，所以∠A1DD1為所求的二面角A1﹣CD﹣C1的平面角．因A1D為A1C在面A1ABB1中的射影，又已知AB1⊥A1C由三垂線定理的逆定理得AB1⊥A1D．從而∠A1AB1、∠A1DA都與∠B1AB互余．因此∠A1AB1=∠A1DA，所以Rt△A1AD∽Rt△B1A1A．因此AA1：AD=A1B1：AA1，即AA12=ADA1B1=8，得AA1=2 ，從而A1D= =2 ．所以Rt△A1D1D中，cos∠A1DD1= = =

解法二：如圖2，過D作DD1∥AA1交A1B1于D1，在直三棱柱中，有DB，DC，DD1兩兩垂直，以D為原點，射線DB，DC，DD1分別為X軸、Y軸、Z軸的正半軸建立空間直角坐標(biāo)系D﹣xyz．

設(shè)直三棱柱的高為h，則A（﹣2，0，0），A1（﹣2，0，h），B1（2，0，h），C（0， ，0），C1（0， ，h），從而 =（4，0，h）， =（2， ，﹣h）

由AB1⊥A1C，可得8﹣h2=0，h=2 ，故 =（﹣2，0，2）， =（0，0，2 ）， =（0， ，0）

設(shè)平面A1CD的法向量為 =（x1，y1，z1），則有 ⊥ ， ⊥

∴ =0且 =0，即 ，取z1=1，則 =（ ，0，1）

設(shè)平面C1CD的法向量為 =（x2，y2，z2），則 ⊥ ， ⊥ ，即 且 =0，取x2=1，得 =（1，0，0），

所以cos＜ ， ＞= = = ，所以二面角A1﹣CD﹣C1span>的平面角的余弦值

【解析】（1）由題意，由于可證得CD⊥平面A1ABB1 ． 故點C到平面的距離即為CD的長度，易求；（2）解法一：由題意結(jié)合圖象，可通過作輔助線先作出二面角的平面角∠A1DD1 ， 然后在直角三角形A1D1D中求出二面角的余弦；
解法二：根據(jù)幾何體的形狀，可過D作DD1∥AA1交A1B1于D1 ， 在直三棱柱中，可得DB，DC，DD1兩兩垂直，則以D為原點，射線DB，DC，DD1分別為X軸、Y軸、Z軸的正半軸建立空間直角坐標(biāo)系D﹣xyz．給出各點的坐標(biāo)，分別求出兩平面的法向量，求出兩向量的夾角即為兩平面的夾角．