Question

11．（1）求函數(shù)y=2x-3+$\sqrt{13-4x}$的值域
（2）已知奇函數(shù)y=f（x）是定義在（-3，3）上的減函數(shù)，且滿足不等式f（x-3）+f（x²-3）＜0，求實數(shù)x的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）利用換元法求函數(shù)y=2x-3+$\sqrt{13-4x}$的值域
（2）利用奇函數(shù)y=f（x）是定義在（-3，3）上的減函數(shù)，且滿足不等式f（x-3）+f（x²-3）＜0，轉(zhuǎn)化為具體的不等式，即可求實數(shù)x的取值范圍．

解答 解：（1）設(shè)$\sqrt{13-4x}=t（t≥0）$，則$x=\frac{{13-{t^2}}}{4}$，…2分
原函數(shù)可化為$y=\frac{{13-{t^2}}}{2}-3+t=-\frac{1}{2}{（t-1）^2}+4\;\;\;（t≥0）$，
所以y≤4…5分
所以原函數(shù)的值域為（-∞，4]…7分
（2）由題意得$\left\{{\begin{array}{l}{-3＜x-3＜3}\\{-3＜{x^2}-3＜3}\end{array}}\right.$得   $0＜x＜\sqrt{6}$…9分
又因為f（x）是奇函數(shù)，
所以f（x-3）＜-f（x²-3）=f（3-x²）…11分
又f（x）在（-3，3）上是減函數(shù)
所以 x-3＞3-x²，即x²+x-6＞0解得x＞2或x＜-3…13分
綜上得$2＜x＜\sqrt{6}$…15分．

點評 本題考查函數(shù)的值域，考查單調(diào)性與奇偶性的綜合，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．