Question

3．已知拋物線關(guān)于x軸對稱，它的頂點在坐標(biāo)原點，點P（1，2），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）均在拋物線上．
（1）寫出該拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程及其準(zhǔn)線方程；
（2）當(dāng)直線PA與PB的斜率存在且傾斜角互補(bǔ)時，求y₁+y₂的值及直線AB的斜率．

Answer 1

分析 （1）設(shè)出拋物線的方程，把點P代入拋物線求得p則拋物線的方程可得，進(jìn)而求得拋物線的準(zhǔn)線方程；
（2）設(shè)直線PA的斜率為k_PA，直線PB的斜率為k_PB，則可分別表示k_PA和k_PB，根據(jù)傾斜角互補(bǔ)可知k_PA=-k_PB，進(jìn)而求得y₁+y₂的值，把A，B代入拋物線方程兩式相減后即可求得直線AB的斜率．

解答 解：（1）由已知條件，可設(shè)拋物線的方程為y²=2px．
∵點P（1，2）在拋物線上，∴2²=2p，解得p=2．
∴所求拋物線的方程是y²=4x，準(zhǔn)線方程是x=-1；
（2）設(shè)直線PA的斜率為k_PA，直線PB的斜率為k_PB．
則k_PA=$\frac{{y}_{1}-2}{{x}_{1}-1}$（x₁≠1），k_PB=$\frac{{y}_{2}-2}{{x}_{2}-1}$（x₂≠1），
∵PA與PB的斜率存在且傾斜角互補(bǔ)，
∴k_PA=-k_PB．
由A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）均在拋物線上，得
y₁²=4x₁，①y₂²=4x₂，②
∴$\frac{{y}_{1}-2}{\frac{1}{4}{{y}_{1}}^{2}-1}$=-$\frac{{y}_{2}-2}{\frac{1}{4}{{y}_{2}}^{2}-1}$，
∴y₁+2=-（y₂+2），∴y₁+y₂=-4．
由①-②得直線AB的斜率為k_AB=$\frac{{y}_{1}-{y}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}$=$\frac{4}{{y}_{1}+{y}_{2}}$=-1．

點評 本題主要考查直線、拋物線等基本知識，考查運用解析幾何的方法分析問題和解決問題的能力，以及運算求解能力．