Question

18．設有雙曲線$\frac{{x}^{2}}{2}$-y²=1，過點P（x₀，1）的直線與雙曲線交于點A，B，若點P不可能成為線段AB的中點，則x₀的取值范圍為[-2，-$\sqrt{2}$]∪[$\sqrt{2}$，2]．

Answer 1

分析 假設P為中點，設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），設過P的直線為x=my+x₀-m，代入雙曲線方程，運用判別式大于0，兩根之和，求得x₀的取值范圍，取補集即可得到所求范圍．

解答 解：假設P為中點，設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
設過P的直線為x=my+x₀-m，
代入雙曲線方程，可得
（m²-2）y²+2m（x₀-m）y+（x₀-m）²-2=0，
則判別式△=4m²（x₀-m）²-4（m²-2）[（x₀-m）²-2]＞0，
y₁+y₂=$\frac{2m（m-{x}_{0}）}{{m}^{2}-2}$=2，
化簡可得mx₀=2，
即m=$\frac{2}{{x}_{0}}$，代入判別式，化簡可得
x₀⁴-6x₀²+8＞0，
解得x₀²＞4或x₀²＜2，
由點P不可能成為線段AB的中點，
則2≤x₀²≤4，
解得-2≤x₀≤-$\sqrt{2}$或$\sqrt{2}$≤x₀≤2．
故答案為：[-2，-$\sqrt{2}$]∪[$\sqrt{2}$，2]．

點評 本題考查直線和雙曲線的位置關系，考查中點坐標公式的運用，考查運算能力，屬于中檔題．