已知橢圓經(jīng)過點(diǎn)，且兩焦點(diǎn)與短軸的一個(gè)端點(diǎn)構(gòu)成等腰直角三角形．
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）動(dòng)直線交橢圓于、兩點(diǎn)，試問：在坐標(biāo)平面上是否存在一個(gè)定點(diǎn)，使得以為直徑的圓恒過點(diǎn)．若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

（1）（2）點(diǎn)就是所求的點(diǎn)

解析試題分析：（Ⅰ）橢圓的兩焦點(diǎn)與短軸的一個(gè)端點(diǎn)連線構(gòu)成等腰直角三角形，所以，故橢圓的方程為．
又因?yàn)闄E圓經(jīng)過點(diǎn)，代入可得，2分
所以，故所求橢圓方程為．4分
（Ⅱ）當(dāng)直線的斜率為0時(shí)，直線為，直線交橢圓于、兩點(diǎn)，以為直徑的圓的方程為； 
當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，直線為，直線交橢圓于、兩點(diǎn)，以為直徑的圓的方程為，
由解得
即兩圓相切于點(diǎn)，因此，所求的點(diǎn)如果存在，只能是．8分
事實(shí)上，點(diǎn)就是所求的點(diǎn)．
證明如下：
當(dāng)的斜率不存在時(shí)，以為直徑的圓過點(diǎn)．9分
若的斜率存在時(shí)，可設(shè)直線為，
由消去得．
記點(diǎn)、，則    10分
又因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic5/tikupic/4b/b/6tdnb1.png" style="vertical-align:middle;" />，
所以
．
所以，即以為直徑的圓恒過點(diǎn)，12分
所以在坐標(biāo)平面上存在一個(gè)定點(diǎn)滿足條件．13分
考點(diǎn)：直線與橢圓的位置關(guān)系
點(diǎn)評(píng)：主要是考查了解析幾何中運(yùn)用代數(shù)的方法來建立方程組結(jié)合韋達(dá)定理來研究位置關(guān)系的運(yùn)用，屬于中檔題。

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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知橢圓過點(diǎn),其長(zhǎng)軸、焦距和短軸的長(zhǎng)的平方依次成等差數(shù)列.直線與軸正半軸和軸分別交于點(diǎn)、，與橢圓分別交于點(diǎn)、,各點(diǎn)均不重合且滿足
（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）若，試證明：直線過定點(diǎn)并求此定點(diǎn).

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知橢圓的離心率為，短軸的一個(gè)端點(diǎn)到右焦點(diǎn)的距離為，直線交橢圓于不同的兩點(diǎn)。
（1）求橢圓的方程；
（2）若坐標(biāo)原點(diǎn)到直線的距離為，求面積的最大值。

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知M (-3，0)﹑N (3，0)，P為坐標(biāo)平面上的動(dòng)點(diǎn)，且直線PM與直線PN的斜率之積為常數(shù)m (m，m0)，點(diǎn)P的軌跡加上M、N兩點(diǎn)構(gòu)成曲線C.
求曲線C的方程并討論曲線C的形狀；
(2) 若，曲線C過點(diǎn)Q (2，0) 斜率為的直線與曲線C交于不同的兩點(diǎn)A﹑B，AB中點(diǎn)為R，直線OR (O為坐標(biāo)原點(diǎn))的斜率為，求證 為定值；
(3) 在(2)的條件下，設(shè)，且，求在y軸上的截距的變化范圍.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

若橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，橢圓的離心率為：2．（1）過點(diǎn)C（-1,0）且以向量為方向向量的直線交橢圓于不同兩點(diǎn)A、B，若，則當(dāng)△OAB的面積最大時(shí)，求橢圓的方程。
（2）設(shè)M，N為橢圓上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，，過原點(diǎn)O作直線MN的垂線OD，垂足為D，求點(diǎn)D的軌跡方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

由直線：上的點(diǎn)向圓C：引切線，
求切線段長(zhǎng)的最小值。

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

設(shè)雙曲線與橢圓+=1有公共的焦點(diǎn)，且與橢圓相交，它們的交點(diǎn)中一個(gè)交點(diǎn)的縱坐標(biāo)是4，求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程。

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知點(diǎn)是橢圓的右焦點(diǎn)，點(diǎn)、分別是軸、
軸上的動(dòng)點(diǎn)，且滿足．若點(diǎn)滿足．
(Ⅰ)求點(diǎn)的軌跡的方程；
(Ⅱ)設(shè)過點(diǎn)任作一直線與點(diǎn)的軌跡交于、兩點(diǎn)，直線、與直線分別交
于點(diǎn)、（為坐標(biāo)原點(diǎn)），試判斷是否為定值？若是，求出這個(gè)定值；若不是，
請(qǐng)說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知橢圓的兩焦點(diǎn)是F1(0，-1)，F(xiàn)2(0,1)，離心率e=
(1)求橢圓方程；(2)若P在橢圓上，且|PF1|-|PF2|=1，求cos∠F1PF2。

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