Question

已知函數(shù)f（x）=x³+x，x∈R
（1）不必證明，直接寫出f（x）在R上的單調(diào)性；
（2）證明：f（x）是奇函數(shù)；
（3）解關(guān)于t的不等式f（1-t）+f（2t-3）＞0．

Answer 1

考點：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì),函數(shù)奇偶性的判斷

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用函數(shù)單調(diào)性和導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系即可寫出f（x）在R上的單調(diào)性；
（2）根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義即可證明：f（x）是奇函數(shù)；
（3）利用函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性將不等式f（1-t）+f（2t-3）＞0進(jìn)行轉(zhuǎn)化即可得到結(jié)論．

解答： 解：（1）函數(shù)的導(dǎo)數(shù)f′（x）=3x²+1＞0，
則函數(shù)f（x）單調(diào)遞增，即f（x）在R上的單調(diào)遞增；
（2）由f（-x）=-x³-x=-（x³+x）=-f（x），則f（x）是奇函數(shù)；
（3）不等式f（1-t）+f（2t-3）＞0等價為f（2t-3）＞-f（1-t）=f（t-1），
∵f（x）在R上的單調(diào)遞增，
∴2t-3＞t-1，
即t＞2．

點評：本題主要考查函數(shù)單調(diào)性，奇偶性以及不等式的解法，利用函數(shù)奇偶性和單調(diào)性的性質(zhì)是解決不等式的關(guān)鍵．