Question

已知P是△ABC所在平面α外一點，O是點P在平面α內的射影
（1）若P到△ABC的三個頂點的距離相等，則O是△ABC外心；
（2）若PA、PB、PC與平面α所成的角相等，則O是△ABC的內心；
（3）若P到△ABC三邊距離相等，且O在△ABC的內部，則O是△ABC的內心；
（4）若平面PAB、PBC、PCA與平面α所成的角相等，且O在△ABC的內部，則O是△ABC的外心；
（5）若PA、PB、PC兩兩垂直，則O是△ABC的垂心．
其中正確命題的序號是______（把你認為正確命題的序號都寫上）

Answer 1

對于（1），如圖P是△ABC所在平面外一點，O是P點在平面a上的射影．
若P到△ABC三個頂點的距離相等，由條件可證得OA=OB=OC，
由三角形外心的定義可知，此時O是三角形ABC的外心，
∴命題（1）正確；
對于（2），∠PAO=∠PBO=∠PCO⇒AO=BO=CO⇒O為三角形的外心，
∴命題（2）不正確．
對于（3），在△ABC內部取一點P使得點P到△ABC的三邊距離相等，
∴點P應是△ABC的三內角角平分線的交點．三內角角平分線的交點，則O是△ABC的內心，
∴命題（3）正確；
對于（4），∠PEO=∠PFO=∠PDO⇒OD=OE=OF⇒O為三角形的內心．則O是△ABC的外心，命題（4）不正確．
對于（5），連結AO并延長，交BC與D連結BO并延長，交AC與E；
因PA⊥PB，PA⊥PC，故PA⊥面PBC，故PA⊥BC；
因PO⊥面ABC，故PO⊥BC，故BC⊥面PAO，
故AO⊥BC即AD⊥BC；
同理：BE⊥AC；
故O是△ABC的垂心．
∴命題（5）正確；
故答案為：（1）（3）（5）．